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数学コミュの小学生算数問題で納得が行かない先生の対応

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コミュ内全体

数学エキスパートの皆様、こんなトピを立てて申し訳ございません。
私自身、半導体工学、応用物理、コンピューターサイエンスを実務にする者でお恥ずかしいのですが、
知人から以下の質問を受けました。知人の息子は小学2年生、算数はとても出来るらしいのですが、
担任の先生が算数が苦手らしく答案の×の理由をうまく説明してくれないとのことです。

 「シールを9枚買いました。シールは1枚8円です。全部でなん円になりますか?」

この問いに、知人の息子は
  9 x 8 =72   答え: 72円

と書いて×(バツ)をもらったそうです。先生のコメントは、「8円のシールを9枚だから、8x9でなければダメ」
と言ったそうです。なるほどね・・・ そこで僕は、じゃあ、

「シールを9枚、シールは1枚8円、それを5人のグループ分購入したらどうなるの、って聞いたら?」
と聞いてみたら、

 8 x 9 x 5 = 360 となる、とその先生は回答したそうです。

小学生なら、 8x9=72 を 5倍するよりも
8x4=40 を 9倍する方が計算は速く、明確に出来ると思うのですが、そもそも乗算のみの算数で式の前後の意味って、皆さんどの程度深刻に考えておられるでしょうか?

コメント(1000)

ただし,「ローカルルール」が「正当でありかつ平易で共通理解がある」場合を覗けば,単なる独善(であることが多い?いやいや,断定でいこう)。
その正当性は、多数決により決まる。
例えば、日本語は日本において正当な言語である。
このトピは、結論がでていませんが、主要な意見は20番目までのコメントに出尽くしていますのでそちらをご参照下さい。

偽管理人
>その正当性は、多数決により決まる。

ばーか。
いいねえ、この線香花火の終わり際の風情。
>961 anymew さん

このトピに書かれた,または書かれている,あるいは書かれなかったもののそれに従ったコメントがなされた「ローカルルール」がありますから…。
10円玉を9枚出したら18円お釣りを貰った。
10×9−18=72円
○をください!おねがいします!!
初めて書き込みさせていただきます。
私自身、一応数学科の端くれでもありますが、
このトピの議論は、いろいろと勉強になりました。

特にメタメタさんの引用される資料は大変参考になります。
ありがとうございます。

954>

>数学の問題で、「解法は必ずしも1つだけではない」

>むしろ、1つだけの解法に縛られるようなやり方は、
>生徒が自分の考えを主張出来なくしてしまう要因になると思います。

私も、こんちゃんの考え方に同感です。

実は、うちの娘もようやく春休みに入り、
算数のテストを整理していたら、ありました。
(最近は、小学校のテストは、教師が作るのではなく、
すべてテスト業者のものを使うようですね)

問題:子どもが9人います。ふうせんを 1人に 2こずつ
   くばると、ぜんぶで なんこ いりますか。 

しき: 9×2=18  ×(ばつ)
こたえ:18こ     ○(まる)

※ 観点別学習状況判断 2年のまとめ(2)青葉出版

この問題を間違えなければ、娘は満点でした。

小2の娘に、文部科学省の指導要領や、『塵劫記』の話しを
してもおそらく混乱するばかりなので、以下の説明のみしました。

「 本当は、この答えは、間違っていないとお父さんは思う。

 でも学校のテストはゲームだよ。ルールは先生が決める。
 運動会のリレーで、先生の引いたラインの内側を走ったら、
 いくら先にゴールについても失格になるだろ。

 だから、これからは、こういう問題が出たときは、
 ゲームのルールをよく思い出して、2×9と書きなさい」

以前、何年か中国に住んだことがあり、娘も若干の中国語を
理解します。「"私は学校へ行く"を中国語で言うと、
"我去学校(私 行く 学校)"だよね。でも算数の記号には、
日本語も中国語もないと思う」と言うと、
何となく納得したようでした。

いろいろ反論もあるかと思いますが、
こういう保護者もいるということでご容赦ください。

割り込み、失礼しました。
>972 ヨッケリなしをとっとさん

 中国に長くいらしたということで,質問させてください。

 チャン・ツィイー主演の『初恋のきた道』にかけ算九九を斉唱する場面があります。愛らしいチャン・ツィイーが出ている映画を話題にしながら,かけ算の話しをする無粋さにわれながら憮然とするのですが,しようがありません。

 以下の資料によると,中国本土のかけ算九九は,次のような片九九であるようです。
http://zh.wikisource.org/wiki/%E4%B9%9D%E5%9B%A0%E6%AD%8C
http://tw.myblog.yahoo.com/jw!kstnWe6bAh5FzR.E19iNv1lYMQ--/article?mid=847
一一得一
一二得二 二二得四
一三得三 二三得六  三三得九
一四得四 二四得八  三四一十二 四四一十六
一五得五 二五一十  三五一十五 四五二十  五五二十五
一六得六 二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六三十  六六三十六
一七得七 二七一十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
一八得八 二八一十六 三八二十四 四八三十二 五八四十  六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九得九 二九一十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一

 このタイプの九九表(とりあえず,A型と言うことにします)は,中国では元代からあるようなのですが,現代でもこの伝統が生きていると思っていました。

 ところが,映画の中では,日本語の字幕の翻訳を見る限り,次の九九の一部が唱えられていました。(この九九表のタイプをB型と言うことにします。)
二二四 二三六 二四八 二五十 二六十二 二七十四 二八十六 二九十八
三三九(字幕はここまで,音声はまだ続いていた)三四十二 三五十五 三六十八 三七二十一 三八二十四 三九二十七
四四一十六 四五二十 四六二十四 四七二十八 四八三十二 四九三十六
五五二十五 五六三十 五七三十五 五八四十 五九四十五 
六六三十六 六七四十二 六八四十八 六九五十四 
七七四十九 七八五十六 七九六十三
八八六十四 八九七十二
九九八十一

 このB型は,日本では室町時代後半に存在したことが,ポルトガルの宣教師ロドリゲスが著した『日本大文典』(1604−08年)に記されています。それまでは,日本でも,中国と同じくA型だった。
 そして,江戸時代を通じてB型が主流となって,明治時代になると,国定教科書で,このB型の片九九が,全国の小学校で教えられた。そして,大正時代の国定教科書から,現在と同じように総九九が教えられるようになった。日清戦争後,日本の植民地となっていた台湾でも,この総九九が教えられたのでしょう。現在の台湾の九九は,現在の日本と同じ総九九です。
 先のhttp://tw.myblog.yahoo.com/jw!kstnWe6bAh5FzR.E19iNv1lYMQ--/article?mid=847

ところが,今の中国本土では,総九九もあるようです。
http://www.56.com/u64/v_MjYyNTU2NDU.html

 すると,冒頭に挙げた中国のウィキ関係などの記述はどうなるのでしょうか。中国語が読めないのに,漢字から見当をつけた理解がまったく見当外れだったのでしょうか。
 そもそも,現在の中国本土では九九はどのように教えられているのでしょうか。
 もしお分かりなら,教えてほしいのです。
>973 メタメタさん

ご質問ありがとうございます。

私のコメントが最後になるのかと思って、ドキドキしていました。
議論を中断してしまったようで、申し訳ありません。

中国(大陸)の九九は、45個かというご質問については、
もうしばらく時間をください。

ググってみた感触では、中国も81個という気がしないではないのですが、
念のため、中国の人に確認してみます。

ちなみに、中国語の"wikipedia"によると、

中国において、九九の歴史は2千年に及ぶ。

現在は、小学1年生、一部では幼児が覚えている。

欧州においては、13世紀までに、
このような九九表が存在したのかどうかは、分からない。

春秋戦国時代に、中国で九九が発明された後に、
高麗、日本、そしてシルクロードを通じて西方へも伝えられた。

81個の九九は、"大九九"、45個の九九は"小九九"という。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%9D%E4%B9%9D%E8%A1%A8

テレビで見た、北京オリンピックの開会式を思い出しています。
>974 ヨッケリなしをとっとさん

 お手数をおかけしますが,よろしくお願いします。

>春秋戦国時代に、中国で九九が発明された後に、
高麗、日本、そしてシルクロードを通じて西方へも伝えられた。<

 以前,NHKの『シルクロード』だったか,『大黄河』だったか,チベットの小学校でかけ算九九を斉唱している場面があって,その発音が日本とまったく同じでびっくりしたのですが,解説に,「九九は,唐の時代に東は日本,西はチベットに伝わった」とあったので納得したのでした。
 記憶では,その九九は,
 二二四 二三六 二四八 二五十 ・・・・
 という,今の日本と同じもの(nの段は,掛ける前の数がnになる)だったのですが,今回,九九のことをいろいろ調べていると,
 一四四 二四八 三四十二 四四十六
 というもの(nの段は,掛ける後の数がnになる)ではなかったのか,という疑問に襲われ,ビデオで確認しようと2,3週間前から気になっていろいろビデを見ているのですが,その場面が見つけられていないのです。
 また,「九九歌」というものがあって,これは,
 一九 二九 三九 四九 五九 六九 七九 八九 九九
 http://v.ku6.com/show/ILAp8sHSYhq6Znba.html
と続く,「掛ける後の数が九の段」のようですね。


>テレビで見た、北京オリンピックの開会式を思い出しています。<

 昔の中国の名言か何かが引用されていたという記憶はあるのですが,あそこで,九九の引用もあったのでしょうか?
>975 メタメタさん

まだ確信がありませんが、どうやら、現在の中国の学校では、
通常、45個の九九を教えている可能性が高いです。

詳細は、改めてご報告します。

>いろいろ反論もあるかと思いますが、
>こういう保護者もいるということでご容赦ください。

義務教育でなければ,あるいは
学校を選んだのなら文句は言えませんが,そのような前提ではありません。

何度か書いたように,
自分の娘,息子には家庭で対処できるから放置する・・・
では,対処できない親や,されない子供は救われないのでは?
それはそれで諦めるしかないよね?ってのはあまりにも利己的では?

だから反論とか,そういうレベルの話ではないと思う。
なんてね。蒸し返すつもりはないけど,
あまり褒められた姿勢ではないような・・・
特に論点を十分把握できていて間違っている事も判っていて
尚かつ専門家だという事なら尚更・・・。
>976 ヨッケリなしをとっと さん

>まだ確信がありませんが、どうやら、現在の中国の学校では、
通常、45個の九九を教えている可能性が高いです。<

 ありがとうございます。
 その45個の片九九の場合,A型なのかB型なのか(@973番),詳細のほどよろしくお願いします。
 
>977 satieさん

言葉が足りず、申し訳ありません。

>自分の娘,息子には家庭で対処できるから放置する・・・

そのようなつもりはありません。

しかし、私自身は、文部科学省の教育方針に影響を及ぼす
ほどの力を持っておりませんし、私とは異なった教育方針
の保護者がいることも知っています。

個人的には、純粋な数学の問題として捕らえた場合には、
ある程度の意見の一致に達するかもしれないと思いますが、
小学校の算数の時間に算数を教えるべきかどうかという教育問題
として捉えた場合には、なかなか結論が出ないと思っています。

私自身は、算数の授業には算数を教えて欲しいと思っています。
尤も「算数」の定義は何かと言われると、それも保護者によって
同一ではないとは思いますが。

かと言って、放置するつもりはなく、現実に私の出来ること、
この問題に対する私の考えを、自分自身の公開の日記や、
他の人のブログのコメントなどで表明し、一人でも多くの人
に関心を持っていただくことを実践しているつもりです。

>124
>学校と言う場所は,家庭教師のような形式とは異なり,
>一律に教えるところですから,

私の娘が通うのは、公立の小学校です。
保護者会等で個人の意見を表明しても、最終的には、
多数の意見に従うことは止む得ないと思っています。

学校の中では、子どもの生命の危険にも関わる
もっと大きな問題も多数あり、そのような問題に対しては、
より声を大にして、主張しているつもりです。

>だから反論とか,そういうレベルの話ではないと思う。

この部分については、若干の誤解があるかと思います。

議論が止まることを望んでいるものではありません。
むしろ逆です。900超のすべてのコメントを精読した
訳ではありませんので、すでに解決済みの部分について、
議論を蒸し返すことになっては、一部の参加者の方に
不快感を与え、かえってご迷惑になると思いました。

ただ数学科を出たということだけで、さび付いた
知識ではありますが、ご質問があれば、
誠意を持ってご回答するつもりでいます。

実際、中国の九九については、このコミュの中では、
初めて出る問題と思われましたので、
少しでもご参考になればと思い、私の対応できる範囲で、
お返事差し上げた次第です。
以前書いたように、朝日新聞教育欄にこの件を取り上げてもらうようにメールしましたが、今のところ反応はありません。

 大勢でメールしたら取り上げられるかもしれませんので、皆さんもよろしくお願いします。
宛先 education@asahi.com

http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20090401-00000569-san-soci
算数が苦手というのはともかく、「正方形は長方形ではない」という認識では困るし、「算数が苦手でよく分からないが、にかくかけ算の順序は大事だって教えることになっているからそうする」という教師は最悪。

 そういう教師や、このトピに「かけ算の順序をきちんと教えることは必要だ」と一方的にコメントしていなくなった2人の教師志望の人に、

「かけ算の順序は絶対的なのか?」と問題提起する意味でも、マスコミなのできちんと取り上げられることが必要だと思います。
、にかくかけ算の順序 → とにかくかけ算の順序

に訂正します。
>980 積分定数さん

記事のご紹介、ありがとうございます。

>先生自身が小学校時代に習わなかった実験もある。
>どう分かりやすく教えるか、工夫のしどころだ。

子どもに教えるのに、自分が習ったか習わなかったかは、
あまり関係がないように思いますが・・・

自分が習った通りに教える。
文部科学省(或いはテスト業者)の手引き通りに教える。
先輩先生から言われた通りに教える。

この辺の概念を少しずつ変えていかないと、
掛け算の順序も、根本的には変わらないように思います。

文部科学省の手引きに、「掛け算の順序は、どちらが先でも○」
と明記したら、解答が二つあるのだから、両方書かないと
満点ではない、と思う先生も出てくるかもしれませんね。

今中国の九九について、調べていますが、
中国では大九九と小九九(片九九)と二つあって、
どちらを教えるかは、現場の先生の裁量に
任されている、という可能性もありそうです。
>解答が二つあるのだから、両方書かないと
満点ではない、と思う先生も出てくるかもしれませんね。

そういう教師がいかねないから恐ろしい。

「どちらでもいいし、どちらか一方でもいいし、両方書いても正解とする」「長方形の面積は縦×横でも横×縦でもいい」「三角形の面積は、底辺×高さ÷2でも、1/2×底辺×高さでもいい」と通達出して貰うとか・・・。

 文科省や教科書およびその指導書の執筆者、あるいは遠山啓らがどんな深い考えのもとで教え方を提示しようが、それを受け取る側が自分なりに咀嚼して主体的に教えないと、本質を見失って、枝葉末節の部分を異様に特化した教え方や教条主義、官僚主義に陥る可能性があると思います。
>973
>現在の中国本土では九九はどのように教えられているのでしょうか。

一般的な教科書には以下の九九表(片九九)が掲載され、
授業でも、通常は、これが使われているようです。

一一得一
一二得二 二二得四
一三得三 二三得六  三三得九
一四得四 二四得八  三四一十二 四四一十六
一五得五 二五一十  三五一十五 四五二十  五五二十五
一六得六 二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六三十  六六三十六
一七得七 二七一十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
一八得八 二八一十六 三八二十四 四八三十二 五八四十  六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九得九 二九一十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一

一方で、日本、台湾と同じ九九表(81個)を掲載する教科書も
実際にはあるようです。また、小九九の教科書を使用するが、
教案では大九九を使って教えるとか、どの九九表を覚えるかは、
生徒の意思に任されるなど、いろいろなケースがあるようです。

その理由としては、片九九の欠点として、覚えやすいが理解が難しい、
即ち、6×4を見ながら、四六二十四と言わなければならない、
九九表を覚える前に、交換法則を理解する必要がある、
珠算の練習に不利などの問題点が指摘されています。

また地方毎に、昔から伝わる「九九歌」というのがあり、
子どもが馴染みやすいやり方で覚えた方が覚えやすい、
ということもあるようです。

中国語では、片九九を「小九九」、日本と同じ81個の九九を
「大九九」と呼んでいます。片九九でも、上記の形式を「上九九」、
これと対照の形式を「下九九」、この他、1の段が省略された片九九。
縦横が入れ替わった「大九九」などさまざまな形式があります。

私の経験でも、多くの中国人は、皆と同じことをやることに、
価値を感じないようです。

なお、中国にも、立式の順序を問題とする考え方があるようです。

例えば、「4個の豆腐がありました。1個の豆腐の5粒の豆が
含まれます。全部でいくつの豆が必要ですか?」という問に対して、
教科書は「4×5=20と解答してもよい」と解説しているようです。

これに対して、5×4=20が正解であって、教科書の記述は誤りで
ある。片九九の採用が、理解を妨げているとしています。

(続く)
>984 続き

参考URL:

1.教科書、教案

北京師範大学小学数学教科書では、大九九を採用
http://www.ycsxw.com/jy/pxxx/jc/200511/1239.html

大九九を使った教案例(南京市建Ye区南湖第三小学)
http://www.nhdsxx.cn/content_static_folder/2007/10/c214s.html

「教科書には小九九が記載されているが、大九九を使用する
地区においては、大九九を使用してもよい」とする教案例
http://www.cn910.net/resourceshow.asp?id=2249

小九九の教案例
http://www.chinesejy.com/jr/162/184/20061130147483.html

大九九と小九九を使った教案例(浦東新区金英小学、Word形式)
http://www.psjying.pudong-edu.sh.cn/sourcefile/0/0/36/36752.doc

私塾の教案例。大九九を推奨。
http://bbs.etjy.com/viewthread.php?tid=121459

未完論文「中国数学の現状と未来」
http://zhhxt.512j.com/html/maths15.htm

小九九の教案例
http://www.9e6.cn/jingpin/xen/enxx/200707/10408.html

2.九九表

上九九表、下九九表、方陣九九表
http://bbs.koubei.com/thread_241_6700_1.html

大九九表、小九九表
http://zhidao.baidu.com/question/48381914.html

36個の小九九表
http://zhidao.baidu.com/question/39971641.html

実際に36個の小九九を習ったというブログの発言
http://www.talkskyland.com/Archive_view.asp?boardID=58&ID=19579&replyID=155296

一般的な小九九表
http://wenda.tianya.cn/wenda/thread?tid=27da4cc2aad030f0&clk=wttpcts

小九九(45個)と大九九
http://ks.cn.yahoo.com/question/1306112813425.html

小九九と大九九の説明(北京師範大学出版社)
http://bbs.bnup.com.cn/dispbbs.asp?boardid=152&Id=34512

3.九九歌

南北で異なる夏<九九>歌
http://www.jksb.com.cn/blog/u/geguoying/archives/2008/2640.htm

上海辞書出版社《辞海》(1991年)の引用
http://www.xxkt.cn/yuwen/2007/16653.html

各地の九九歌(北京、長沙、河北、湖南、江蘇)
http://ks.cn.yahoo.com/question/1307011120873.html
http://www.chinaculture.org/gb/cn_focus/2004-12/20/content_64329.htm

北京の九九歌
http://www.hudong.com/wiki/%E4%B9%9D%E4%B9%9D%E6%AD%8C

4.九九表の歴史、故事、その他

2200年前の九九表(新華社長沙)
http://www.i3721.com/xx/tbjak/enj/xkbsx/200605/17819.html

古典(書籍)中の九九表
http://www.lunwentianxia.com/product.free.4247489.1/

九九表の歴史(春秋戦国時代)
http://wenwen.soso.com/z/q116048047.htm

九九表の故事(韓詩外伝)
http://bbs.cersp.com/dispbbs.asp?boardID=206&ID=77840&page=5

wikipedia
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%9D%E4%B9%9D%E8%A1%A8
>984,985 ヨッケリなしをとっと さん

 ありがとうございます。

 特に、
「上九九表、下九九表、方陣九九表」
http://bbs.koubei.com/thread_241_6700_1.html
 は、とても参考になりました。
 現在の中国では、「上九九」の小九九が中心ということですね。
 となると、中国では13世紀の元代から21世紀の現代まで、上九九が主流であったことになる。
 この事実が確定すると、さらに次の探求が進められます。

(1)16世紀の日本では、「下九九」が上九九と併行して使われているが、この下九九の由来はどこなのか。中国である可能性は極めて薄くなりました。
 では、日本独自で生まれたのか? これも可能性が薄いように思えます。16世紀の日本の算術の段階は、独自性を発揮するところに至っていないと思うのです。この頃、ソロバンが中国から伝えられましたが、ソロバンで割り算をする際の「割算九九」(八算割りの声)は、中国のものを真似しているだけです。そのような日本が、掛算九九について、独自性を発揮できたとは思いにくい。
 一方、当時の西洋の九九は下九九であった。そして、前にも書いたように、ポルトガルの宣教師ロドリゲスが、日本では、「日本の九九」(上九九)と「われわれ(西洋人)と同じように使う別の九九」(下九九)があると記しているのです。下九九を16世紀の日本人は、「南蛮文化」から学んだのではないかという仮説が立てることができるでしょう。
 江戸時代初めの和算の成立に、西洋の数学の影響があったという学説がありますが、まだ少数派のようです。しかし、当時の中国にはなかった下九九が日本にはあったという事実は、西洋からの影響の可能性を強めると思うのです。
(2)ご紹介のあったサイトの内、私が知っていたのは、次のものだけでした。本当に、いろいろご紹介していただきありがとうございます。(中国語は読めないので、九九の数字だけを眺めている状態ですが)
>wikipedia
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%9D%E4%B9%9D%E8%A1%A8

 このウィキの参考文献の最後に
湖南一座战国遗址发现两千多年前的乘法口诀表
があります。ところが、この「口訣表」が表示されなくて困っていました。

 そもそも、元代以前の古代からの中国と日本の九九は、次のようなものでした。
九九八十一 八九七十二 七九六十三 六九五十四 五九四十五 四九三十六 三九二十七 二九一十八 一九如九 
八八六十四 七八五十六 六八四十八 五八四十 四八三十二 三八二十四 二八十六 一八如八
七七四十九 六七四十二 五七三十五 四七二十八 三七二十一 二七十四 一七如七
六六三十六 五六三十 四六二十四 三六一十八 二六十二 一六如六
五五二十五 四五二十 三五十五 二五一十 一五如五
四四一十六 三四一十二 二四如八 一四如四
三三如九 二三如六 一三如三
二二如四 一二如二
一一如一 

 九九八十一から始まり、いわゆる「九九」の名称の起こりと言われるものです。中国の『孫子算経』や敦煌遺跡や日本の『口遊』など、古代の九九は、全部これでした。
 ところが、最近、後漢時代の竹簡が出土した。ウィキの参考文献の最後にあるものです。しかし、この竹簡の九九はネット上では検索できなかったため、国会図書館東京館に行って、関西館所蔵の『湖南省文物考古研究所・中國文物研究所「湖南張家界古人堤遺址與出土簡牘概述」(『中國歴史文物』二〇〇三年第二期)』をプリントアウトしてもらった。
 九九は、次のような形になっていました。

九九八十一 八八六十四 七七四十九 六六三十六 五五廿五 四四十六 三三而九 二二而四 一一而一
八九七十二 七八五十六 六七四十二 五六三十 四五廿 三四十二 二三而六 一二而二
七九六十三 六八四十八 五七三十五 四六廿四 三五十五 二四而八 一三而三
六九五十四 五八四十 四七廿八 三六十八 二五一十 一四而四
五九四十五 四八三十二 三七廿一 二六十二 一五而五
四九三十六 三八廿四 二七十四 一六而六
三九廿七 二八十六 一七而七
二九十八 一八而八
一九而九 

 始めて目にする形で、どういう思考がこういう九九表を生み出したのだろうと、推理し始めたのですが、縦横を逆にすると、『孫子算経』や敦煌遺跡や日本の『口遊』で見慣れている次の形と同じではないかと気が付いたのです。 

九九八十一 八九七十二 七九六十三 六九五十四 五九四十五 四九三十六 三九二十七 二九一十八 一九如九 
八八六十四 七八五十六 六八四十八 五八四十 四八三十二 三八二十四 二八十六 一八如八
七七四十九 六七四十二 五七三十五 四七二十八 三七二十一 二七十四 一七如七
六六三十六 五六三十 四六二十四 三六一十八 二六十二 一六如六
五五二十五 四五二十 三五十五 二五一十 一五如五
四四一十六 三四一十二 二四如八 一四如四
三三如九 二三如六 一三如三
二二如四 一二如二
一一如一 

 このように、縦横を逆に記述しているだけで,敦煌遺跡の九九表と張家界遺跡の九九表は同じではないかと・・・
しかし、1枚の紙の上に書かれたものなら、縦横の表形式に書かれている可能性もあるかもしれないが、竹簡だとすると、1行1行別の竹簡に書かれているでしょう。是非、この九九表の影印を確認したいと思って、図書館の担当者にいろいろネット検索してもらったり,「中国考古学年報」に写真が掲載されていないかと探ったのですが、「中国考古学年報」は活字の年報で写真はなかった。

・・・・と、こういう歴史的探求が、いったいこのトピの主題とどういう関係があるのかと思われる方がいるかもしれませんが、掛算の式(あるいは口訣)の前数と後数の、どちらが「乗数」で「被乗数」なのか、いったい「かける/かけられる」とはどういう意味なのか、そもそも乗算をどのように理解していたのか、ということを、九九表の形から推理することができます。そして、乗算の理解が、時代によって変化していることを知ることは、現在の私たちの理解も歴史的に作られたものであると相対化する契機になると思うのです。
>そして、乗算の理解が、時代によって変化していることを知ることは、現在の私>たちの理解も歴史的に作られたものであると相対化する契機になると思うので
>す。


社会科学系の新書を読みかじった学生みたいで、
いくらなんでも青臭いだろ。

こういう歴史談義は、
せめて、
このトピの主題ともう少し話がつながる程度まで、
内容を煮詰めてからやって欲しいものだ。

もうこのトピも終わりだから、どうでもいいが。
???「現在の私たちの理解も歴史的に作られたものである」
むしろそういう態度の是非を問うトピックスでは?なかったのか。

教える側の勝手な思いや都合や方便は
きちんと後始末や辻褄合わせが「できる」ならまだしも許せる
という人もいるかもしれない。私個人はそれも赦し難いのだけど。

ただ、学ぶ側は「教わる事」からだけで学んでいるわけではないのでは?
(まあ、ロボット君やマニュアルさんもいるだろうけど)
少しばかりがっかりしました。

「数学ガール」(ご存知ですか?)を小学校二年生が読んで
面白かったとメールを書いたとか・・・。
そんな子にとっては「個人的にはどーでも良い馬鹿らしい話」だと思うけど,
同級生と共通の話題にできないのは,教え方の問題だと確信するだろうなあ。
という類いの話です。
いつから馬鹿でも先生になれるようになったのだろう?昔からそうだったか。
うーん。教育大や教育系の学部、それと教育系の出版社とか・・・
って馬鹿の大量生産を担う場所なのか?
(一部の塾や受験産業がその手を使って利益を上げる?のは判らないでも無い。
まさに宗教みたいなもんだし。)
>986

>中国では13世紀の元代から21世紀の現代まで、上九九が主流であったことになる。

私の説明が不十分だったかもしれませんが、今(この十年か、数十年の期間)
この形式が主流となっているだけで、以前からそうだったかどうかは分かりません。

今日、たまたま二人の中国人に、聞いてみました。
40才くらいの夫婦ですが、中国の大学を卒業し、日本で仕事をしています。

一人は片九九、一人は日本と同じ81個の九九を習ったと思うと言っていました。

話は逸れますが、実は「習ったと思う」と答えたところがポイントで、
この意味は、教科書にはそう書いてあったかもしれないが、
二人とも、どちらの九九表も練習し、どちらも出来るということでした。

要は、この人たちにとっては、教科書も、授業も絶対的なものではなく、
単なる参考で、「自分の頭で考える」のが当たり前なんだなあと思いました。

ついでに、乗算の順序を間違えてバツになった娘の話をすると、
信じられないと言われました。そばにいた彼らの子どもに確認して、
子どもが学校ではそう習うよと言うと、びっくりした様子でした。

先日ご紹介した参考URLを含めたとしても、N数があまりにも少ないので、
だから中国の教育は・・・とは言えませんが、乗算の順序がどうこうという
問題ではなく、日本の今の教育方法そのものに、正直不安を感じました。

話を戻して、片九九がいつごろから始まったのかということについては、
これは、私の主観的な推測でしかないのですが、もしかしたら、
「漢字簡化方案」(1956年)により簡体字に移行した時期の前後に、
九九表も簡素化されたではないかと考えています。

それまでは台湾(日本とも)と同じ81個の九九表が主流だったのでは
ないかと考えます。台湾は、文字も簡体字を採用していません。
ただし、日本の統治の影響で、台湾の九九表が日本と同じになった
という可能性も多いにありますが・・・。

あと、とても参考になったと言っていただいた「上九九」、
「下九九」ですが、この名称は、あまり一般的ではないようです。
「小九九」が一般的な名称のようです。
ただ、今日会った二人にも確認してみましたが、
このような九九表が存在することは確かなようです。
塾や受験産業は、公教育が馬鹿だからこそ成り立っているのだと思います。
そういう単純な図式なら判りよいのだけどね。
たとえば,ここでの議論や紹介された資料でも判る通り,
塾や受験産業も馬鹿だったり馬鹿の振りをしたリ?あるいは
そうすることで需要を伸ばしている節も見受けられると・・・
(病気を完治させない,あるいは定期的な診療が必要になるように治療すれば,
医者は儲ける事ができるのと同じ理屈。
もちろんそんな事をする医術者はごく少数な筈だけど)
>986 ヨッケリなしをとっと さん

>今(この十年か、数十年の期間) この形式が主流となっているだけで、以前からそうだったかどうかは分かりません。 <

 「上九九」の形式は、『算学啓蒙』(1299年)、『算法統宗』(1592年)など代表的な数学書がそうなので、少なくとも、「古代中国型」http://ameblo.jp/metameta7/entry-10225794168.html以降は、だいたいこの形式だろうと思っていたのですが、元代末(1364年?)の『算法全能集』に「下九九」がありました。
 http://www2.library.tohoku.ac.jp/wasan/wsn-imgm.php?id=009880&km=6

>片九九がいつごろから始まったのかということについては、
これは、私の主観的な推測でしかないのですが、もしかしたら、
「漢字簡化方案」(1956年)により簡体字に移行した時期の前後に、
九九表も簡素化されたではないかと考えています。<

 いや、これについては、古代中国では片九九「古代中国型」が原初の形で、それが「上九九」となり、次に「下九九」も生まれ、西洋の数学が流入した近代以降に、中国でも「総九九」も教えられるようになった、という流れだろうと推測しています。完全に立証してはいないのですが・・・。


>ただし、日本の統治の影響で、台湾の九九表が日本と同じになった
という可能性も多いにありますが・・・。<

 「台湾における日本統治下の珠算教育−初等教育編」(城地茂)によれば、そうではないかと思われます。
 http://www2.nkfust.edu.tw/~jochi/jochi2003a.pdf

 
 「上九九・下九九」の命名の由来などについて愚考したところは、このトピのテーマを外れそうなので、ブログに書きました。
 http://ameblo.jp/metameta7/entry-10238104915.html

 このトピのテーマと関連することで言えば、4×5=20「四五二十」は、上九九では、「五の段」(一五五、二五十、三五十五、四五二十、五五二十五)の中で出てくるから、この文脈では、「四が5個」より、「4個の五」(5+5+5+5)と解するほうが合理的のように思える。最古の算木による乗算では、「四五二十」とは、5本の算木を4回乗せることだったと思われます。
 一方、下九九では、「四五二十」は、「四の段」(四四十六、四五二十、四六二十四、四七二十八、四九三十六)の中に出てくる。この文脈の中では、「四五二十」は、「5個の四」(4+4+4+4+4)と解するほうが理にかなっているように思える。
 しかし、どちらにしろ、片九九だから、5×4という式を見ても、「四五二十」と心の中で唱えて、答を求めているわけですが。
>990

補足です。

小学生の子供を持つ瀋陽の友人にも聞いたところ、
教科書に記載された九九表は、以下の形式のようです。

1×1=1
1×2=2 2×2=4
1×3=3 2×3=6 3×3=9
1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16
1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25
1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36
1×7=7 2×7=14 3×7=21 4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=49
1×8=8 2×8=16 3×8=24 4×8=32 5×8=40 6×8=48 7×8=56 8×8=64
1×9=9 2×9=18 3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×9=63 8×9=72 9×9=81

>「漢字簡化方案」(1956年)により簡体字に移行した時期の前後に、
>九九表も簡素化されたではないかと考えています。

文献で見る限り、私のこの仮説は、正しくないようです。

何を以って主流とするかの定義が難しいですが、
文革以前にすでに小九九は一般的だったものと思われます。

1)1×1から始まる小九九は、「算学啓蒙」(朱世傑)に記載がある。
2)大九九は、「算法大成」(陳傑、1897年頃)に記載がある。
3)珠算で使う九九は、(今でも?)大九九である。
4)1969年に中国教育部(文部省)は、学制短縮革命を開始した。
5)これと同じころ、朱孔祥という人物が、珠算、暗算、筆算を結合する
「三算結合」の運動を開始し、全国に拡大した。
6)「三算結合」の一つのポイントは、「小九九」から「大九九」への
 変更であった。

以上のことから何となく想像できるのは、

・中国では、今でも「小九九」と「大九九」が混在しているが、
 「小九九」が多数派を占めているようである。
・文革直後に「大九九」への統一運動があったということは、
 その傾向は、文革以前からあったものと思われる。
(文革により、大九九から小九九に簡略化されたのではない)

余談になりますが、中国語で「小九九」は、「もくろみ」、
或いは、「ざっとそろばんをはじく」という意味があります。
これに対して「大九九」は、「大きなもくろみ」という意味が
あり、文学などでも、よくセットで使われるようです。

例:「Ni有Ni的小九九,可我有我的大九九」
(君には君の目的があるが、私に私のより大きな目的がある)

ということは、かなり以前から、両方の九九が一般的に
混在して使用されていたものと私は想像しています。

乗算の順序について、
以下に引用した「2年1学期数学教材分析」によると、

「乗法の表示方法として、
(1)3+3+3+3+3+3=3×6
(2)3+3+3+3+3+3=6×3
の二つの表示方法がある。

言語の流れから言うと、(2)「6×3」が自然である。
(中国語では「3が6個」は、「六個三」となります)

「×6」という操作を表示するには、(1)「3×6」
の方が理解し易い。

この教材では、言語を優先して、(2)の表示を採用した」

としています。

乗算の順序は、中国でも難しい問題のようですが、
どちらかが○で、どちらかが×という考え方は、
私が見る限り、あまりないようです。

参考URL (追加)

算数・数学のカリキュラムの改善に関する研究 諸外国の動向(2)
2005年3月 国立教育政策研究所
http://www.nier.go.jp/kiso/seika2/sansuu.pdf

東西数学史 三上義夫
http://fomalhaut.web.infoseek.co.jp/science/ewhistry.pdf

論文「2年1学期数学教材分析」南Hui教師進修学院 丁明娟
http://res.nh.edu.sh.cn/shuxue/detail.asp?id=854

論文「九九教学の実験研究」杭州市城区教育研究発展センター
http://www.hzjsjy.com/news/uploadfile/07111413235sw.doc

朱孔祥「三算結合運動」
http://zsxh.mof.gov.cn/0416show.asp?art_id=296

そろばんの歴史
http://www.hudong.com/wiki/%E7%AE%97%E7%9B%98

「算学啓蒙」(朱世傑) 小九九(1×1から始まる)の記載
「算法大成」(陳傑) 大九九の記載
http://news.wenda.sogou.com/question/14921811.html

陳傑,鳥程(今湖州)人。清末数学家、天文学家。
http://sx.zxxk.com/Article/32360.html

陳傑《算法大成》
http://www.gujibook.com/gujide_17126/
>993 メタメタさん

書き込みが入れ違いになってしまいました。

>西洋の数学が流入した近代以降に、中国でも「総九九」も
>教えられるようになった、という流れだろうと推測しています。

文献を見る限り、総九九は、珠算と密接な関係があるように思われます。
文革後の「三算結合」の運動では、珠算の九九(総九九)に統一
しようとしたことが記載されています。

総九九と片九九の関係が、「もくろみ」の意味で使う、「大九九」と
「小九九」の語源になっているとすれば、小九九は、暗記する目的に
特化した大九九の簡易版のようなニュアンスがあるように感じます。

上九九の常に小さな数を先に読むのは、言語面から見ると、
そちらの方が自然だとある文献には説明されていました。

>「上九九・下九九」の命名の由来などについて愚考したところは、
>このトピのテーマを外れそうなので、ブログに書きました。
>http://ameblo.jp/metameta7/entry-10238104915.html

先ほど、拝見させていただきました。

>「四が5個」より、「4個の五」(5+5+5+5)と解するほうが合理的のように思える。

私のコメントと重複してしまいました。
中国語では、5+5+5+5は、「4個五」と読むことから、
4×5の表示が、言語面からは自然であるという文献がありました。

掛け算の順序の問題が、これほどいろんな話題に発展するとは、
思いませんでした。

>996 ヨッケリなしをとっと さん

>文献を見る限り、総九九は、珠算と密接な関係があるように思われます。

 珠算(ソロバン)は、全然得意ではないのですが、珠算の割算九九のことを考えに入れざるをえないと考え始めたところです。
『算学啓蒙』(朱世傑、1299年)に、江戸時代に註を付けた『算学啓蒙諺解大成』(建部賢弘、1690年)によると、割算の仕方には、「古法(商除法)」と「非正術」があるとあります。
http://www2.library.tohoku.ac.jp/wasan/wsn-imgm.php?id=001197&km=3
 商除法が、いまの私たちと同じように、掛算九九の逆算で商を見つける方法のようです。
 この商除法が初心者には難しいので、出来たのが「非正術」の割算九九(九帰除法)とあります。
 割算九九は、ご紹介いただいた「そろばんの歴史
http://www.hudong.com/wiki/%E7%AE%97%E7%9B%98」
 の後の方にも載っていますね。
 この割算九九を暗記していれば、たとえば10÷3は、ソロバンの左に「三」、右に「一」を置いて、(つまり、1÷3)、掛算九九を逆算して商の3を探すまでもなく、「三一三十一」と心の中で唱えて、「一」を払って「三十一」とする。10÷3=3あまり1。で、あまりの「一」があるので、また「三一三十一」と心の中で唱えて、「一」を払って「三十一」とする・・・この繰り返しで、1÷3=0.333・・・の計算ができる、というものらしい。
 しかし、現在の珠算では、「二一添作五、逢二進成十、三一三十一、三二六十二、・・・」などという割算九九は覚えないのでしょう。
 割算九九を暗記していた時代は、掛算も小九九を暗記していれば良かったが、割算九九を暗記しなくなると、商を見つけるために、掛算は大九九を暗記している方が良い。
 中国では、以上のような流れという理解で良いのでしょうか。

 日本で、大正時代に、国定教科書がそれまでの片九九(小九九)から総九九(大九九)に変わった理由が、いまひとつ分からなかったのですが、珠算との関係、特に割算九九の暗誦の盛衰という観点から調べてみる必要があるということに気が付きました。


>上九九の常に小さな数を先に読むのは、言語面から見ると、
そちらの方が自然だとある文献には説明されていました。

 確かに、上九九であれ、下九九であれ、小九九は、中国でも、日本でも、西洋でも、小の数を先に読む。これは、数を数えるときに、小さい方から数えるという、どの「言語」にも共通の事実に基づいているのでしょうね。それが、人類が数の概念を獲得する普遍的過程だったということでしょうね。
 そして、古代中国では、小九九が上九九であった。例えば「五の段」は、「一五五、二五十、三五十五、四五二十、五五二十五」であったという理由は、算木で乗算をするときの原初の方法が、布地の下の方に算木を5本置き、上の方に、算木を乗せる回数を表す数だけ算木を置き、中の段に、その回数だけ、5本の算木を乗せていったから、ということだったろうと推測しているのです。
>997 メタメタさん

どうもありがとうございます。

>商を見つけるために、掛算は大九九を暗記している方が良い。
>中国では、以上のような流れという理解で良いのでしょうか。

文革以降の「三算結合」運動の主旨は、そうだと思います。

それとは別に、乗算の理解を容易にするために、
大九九の方が合理的だとする考え方もあるようです。
(九九表を見れば、すぐに交換則に気が付くし、
珠算でなくても、割算を行うには大九九の方が便利)

ただ、数学教育に関して、日本と根本的に違うと感じるのは、
いろいろなやり方、考え方があることを前提として、
基本的にその選択は、生徒に任されているという点です。

日本の、順序や、形にこだわる習慣は、茶道、華道
にも通ずる江戸時代の「数学道」の流れでなのしょうか?
それはそれで、いい面もあると思うのですが。

メタメタさんからいただいた情報は、
私の日記の方にも参考にさせていただきました。
読むきもしない話が続いていますが・・・1000番目踏んだ。

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