たまに話題に出る「マイナス×マイナス＝プラス」の証明ですが、
ある本(※）に掲載されていた証明です。極めて論理的で何ら疑問が
生じる余地のないものだと思い、感動を覚えました。
ただ、これを中学生に示して「納得せよ」というのは無理でしょうね...。
------------------------------------------------
二つの実数a,bに対し、(-a)(-b)=abとなることを証明する。
まず、bの逆元(-b)が存在することから、
b+(-b)=0
が成り立ち、これの両辺に左からaの逆元(-a)を掛けて、
(-a){b+(-b)}=(-a)0
となる。次に、分配法則と0の性質から、
(-a)b+(-a)(-b)=0
となり、さらに、この式の両辺に左からabを加えると、
ab+{(-a)b+(-a)(-b)}=ab+0
となる。ここで、和の結合法則と0の性質から、
{ab+(-a)b}+(-a)(-b)=ab
が成り立ち、分配法則を用いると、
{a+(-a)}b+(-a)(-b)=ab
を得る。逆元(-a)の性質から、
0b+(-a)(-b)=ab
となり、0の性質から、
(-a)(-b)=ab
となる。
------------------------------------------------
※「集合・位相に親しむ」 庄田敏宏著、現代数学社
ある本(※）に掲載されていた証明です。極めて論理的で何ら疑問が
生じる余地のないものだと思い、感動を覚えました。
ただ、これを中学生に示して「納得せよ」というのは無理でしょうね...。
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二つの実数a,bに対し、(-a)(-b)=abとなることを証明する。
まず、bの逆元(-b)が存在することから、
b+(-b)=0
が成り立ち、これの両辺に左からaの逆元(-a)を掛けて、
(-a){b+(-b)}=(-a)0
となる。次に、分配法則と0の性質から、
(-a)b+(-a)(-b)=0
となり、さらに、この式の両辺に左からabを加えると、
ab+{(-a)b+(-a)(-b)}=ab+0
となる。ここで、和の結合法則と0の性質から、
{ab+(-a)b}+(-a)(-b)=ab
が成り立ち、分配法則を用いると、
{a+(-a)}b+(-a)(-b)=ab
を得る。逆元(-a)の性質から、
0b+(-a)(-b)=ab
となり、0の性質から、
(-a)(-b)=ab
となる。
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※「集合・位相に親しむ」 庄田敏宏著、現代数学社
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コメント(132)
証明をさらっておくと、こんな感じですかね…
整数の集合が加法について群である事は既知とし、その単位元を０、任意のａについてその逆元を-ａとする。
まず任意のａについて左分配律から０ａ=０、右分配律からａ０=０が従うことに注意する。
このとき任意のａ、ｂについて左分配律から
(-ａ)ｂ = -(ａｂ) …(ア)､
右分配律から
ａ(-ｂ) = -(ａｂ) …(イ)
となるが、これらの左辺を等置して
ａ(-ｂ) = (-ａ)ｂ …(ウ)
を得る。
一方、逆元の一意性から任意のａについて
-(-ａ) = ａ …(オ)．
ここで(ウ)のａを-ａに置き換えて(オ)を用いれば欲しい結論
(-ａ)(-ｂ) = ａｂ
を得る。
さてこの議論の後半部分を一般化すると
集合Ｓの非自明な対合(２乗すると恒等写像になる自己写像)τと２項演算
〈 , 〉: Ｓ×Ｓ → Ｓ
の組であって、上の(ア)(イ)または(ウ)と同様な性質を持つ
ものを考えたくなります。このようなものの構成法を色々考えるのは面白いクイズじゃないでしょうか？
もちろん対合(整数の場合は逆元をとる操作)を対称変換と呼ぶ事もできるでしょう。
整数の集合が加法について群である事は既知とし、その単位元を０、任意のａについてその逆元を-ａとする。
まず任意のａについて左分配律から０ａ=０、右分配律からａ０=０が従うことに注意する。
このとき任意のａ、ｂについて左分配律から
(-ａ)ｂ = -(ａｂ) …(ア)､
右分配律から
ａ(-ｂ) = -(ａｂ) …(イ)
となるが、これらの左辺を等置して
ａ(-ｂ) = (-ａ)ｂ …(ウ)
を得る。
一方、逆元の一意性から任意のａについて
-(-ａ) = ａ …(オ)．
ここで(ウ)のａを-ａに置き換えて(オ)を用いれば欲しい結論
(-ａ)(-ｂ) = ａｂ
を得る。
さてこの議論の後半部分を一般化すると
集合Ｓの非自明な対合(２乗すると恒等写像になる自己写像)τと２項演算
〈 , 〉: Ｓ×Ｓ → Ｓ
の組であって、上の(ア)(イ)または(ウ)と同様な性質を持つ
ものを考えたくなります。このようなものの構成法を色々考えるのは面白いクイズじゃないでしょうか？
もちろん対合(整数の場合は逆元をとる操作)を対称変換と呼ぶ事もできるでしょう。
［Ｓ０］
５＝５×１
５＋５＝５×２
５＋５＋５＝５×３
から，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」として，
［Ｓ］
(−５)＋(−５)＋(−５)＝(−５)×３
(−５)＋(−５)＝(−５)×２
−５＝(−５)×１
０＝(−５)×０＝５×０
５＝５×１
５＋５＝５×２
５＋５＋５＝５×３
と発展させます。これを，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」として，
［Ｓ’］
(−５)＋(−５)＋(−５)＝５×(−３)
(−５)＋(−５)＝５×(−２)
−５＝５×(−１)
０＝５×０
５＝５×１
５＋５＝５×２
５＋５＋５＝５×３
とします。
［Ｓ］を反転して，
［Ｔ］
５＋５＋５＝５×３
５＋５＝５×２
５＝５×１
０＝(−５)×０＝５×０
−５＝(−５)×１
(−５)＋(−５)＝(−５)×２
(−５)＋(−５)＋(−５)＝(−５)×３
とし，「(−ａ)×(−ｂ)＝ａ×ｂ」として，
［Ｔ’］
５＋５＋５＝(−５)×(−３)
５＋５＝(−５)×(−２)
５＝(−５)×(−１)
０＝(−５)×０
−５＝(−５)×１
(−５)＋(−５)＝(−５)×２
(−５)＋(−５)＋(−５)＝(−５)×３
とします。
［Ｓ０］y＝5x（x＝1，2，3）
［Ｓ］y＝−5|x|（x＝−3，−2，−1，0），5|x|（x＝0，1，2，3）
［Ｓ’］y＝5x（x＝−3，−2，−1，0，1，2，3）
［Ｔ］y＝5|x|（x＝−3，−2，−1，0），−5|x|（x＝0，1，2，3）
［Ｔ’］y＝−5x（x＝−3，−2，−1，0，1，2，3）
比例を座標平面に表したとき，直線と１次方程式が見えてくるように「(−ａ)×(−ｂ)＝ａ×ｂ」とした…。
５＝５×１
５＋５＝５×２
５＋５＋５＝５×３
から，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」として，
［Ｓ］
(−５)＋(−５)＋(−５)＝(−５)×３
(−５)＋(−５)＝(−５)×２
−５＝(−５)×１
０＝(−５)×０＝５×０
５＝５×１
５＋５＝５×２
５＋５＋５＝５×３
と発展させます。これを，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」として，
［Ｓ’］
(−５)＋(−５)＋(−５)＝５×(−３)
(−５)＋(−５)＝５×(−２)
−５＝５×(−１)
０＝５×０
５＝５×１
５＋５＝５×２
５＋５＋５＝５×３
とします。
［Ｓ］を反転して，
［Ｔ］
５＋５＋５＝５×３
５＋５＝５×２
５＝５×１
０＝(−５)×０＝５×０
−５＝(−５)×１
(−５)＋(−５)＝(−５)×２
(−５)＋(−５)＋(−５)＝(−５)×３
とし，「(−ａ)×(−ｂ)＝ａ×ｂ」として，
［Ｔ’］
５＋５＋５＝(−５)×(−３)
５＋５＝(−５)×(−２)
５＝(−５)×(−１)
０＝(−５)×０
−５＝(−５)×１
(−５)＋(−５)＝(−５)×２
(−５)＋(−５)＋(−５)＝(−５)×３
とします。
［Ｓ０］y＝5x（x＝1，2，3）
［Ｓ］y＝−5|x|（x＝−3，−2，−1，0），5|x|（x＝0，1，2，3）
［Ｓ’］y＝5x（x＝−3，−2，−1，0，1，2，3）
［Ｔ］y＝5|x|（x＝−3，−2，−1，0），−5|x|（x＝0，1，2，3）
［Ｔ’］y＝−5x（x＝−3，−2，−1，0，1，2，3）
比例を座標平面に表したとき，直線と１次方程式が見えてくるように「(−ａ)×(−ｂ)＝ａ×ｂ」とした…。
>103:
>と発展させます。これを，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」として，
>
>［Ｓ’］
これを，「ａ×(−ｂ)＝−(ａ×ｂ)」として，
でしたm(_ _)m。
−(−ａ)＝ａ
として，
［Ｓ０］y＝5x（x＝1，2，3）
［Ｓ１］y＝−5(−x)（x＝−3，−2，−1，0）
［Ｔ０］y＝−5x（x＝0，1，2，3）
［Ｔ１］y＝5(−x)（x＝−3，−2，−1，0），
とすると，これらは y 軸 ないし x 軸に関する対称変換（とその合成）にかかわるようにみえます。「平行線の公理」「連続性の公理」が成り立たなくても「（向きを考えない）三角形の合同公理（二辺夾角）」などが成り立つなら，「−(−ａ)＝ａ」，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」（これらから「(−ａ)×(−ｂ)＝ａ×ｂ」が帰結する）が導かれるでしょう。
一方
「−(−ａ)＝ａ」，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」が成り立つからといって，交換法則はもちろん，分配法則も成り立つとはかぎらない。
ように思います。もしそうなら，
> 「実際そうなっているから」
>
>と感じられる。
ものが，「−(−ａ)＝ａ」や「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」，「（向きを考えない）三角形の合同公理（二辺夾角）」などであって，分配法則がそうではない人にとって，トピ文のような証明や 4: にあるパズルの解答のようなものより，11:柚実子さん や 101:に書かれていたユーモラスな例（それをふまえて103:を書きました）の方が，「納得」に結びつくのでしょう。このとき，トピ文のような証明や 4: にあるパズルの解答のようなものはより「納得」できない仮定にもとづく説明となる…。
>と発展させます。これを，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」として，
>
>［Ｓ’］
これを，「ａ×(−ｂ)＝−(ａ×ｂ)」として，
でしたm(_ _)m。
−(−ａ)＝ａ
として，
［Ｓ０］y＝5x（x＝1，2，3）
［Ｓ１］y＝−5(−x)（x＝−3，−2，−1，0）
［Ｔ０］y＝−5x（x＝0，1，2，3）
［Ｔ１］y＝5(−x)（x＝−3，−2，−1，0），
とすると，これらは y 軸 ないし x 軸に関する対称変換（とその合成）にかかわるようにみえます。「平行線の公理」「連続性の公理」が成り立たなくても「（向きを考えない）三角形の合同公理（二辺夾角）」などが成り立つなら，「−(−ａ)＝ａ」，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」（これらから「(−ａ)×(−ｂ)＝ａ×ｂ」が帰結する）が導かれるでしょう。
一方
「−(−ａ)＝ａ」，「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」が成り立つからといって，交換法則はもちろん，分配法則も成り立つとはかぎらない。
ように思います。もしそうなら，
> 「実際そうなっているから」
>
>と感じられる。
ものが，「−(−ａ)＝ａ」や「(−ａ)×ｂ＝−(ａ×ｂ)」，「（向きを考えない）三角形の合同公理（二辺夾角）」などであって，分配法則がそうではない人にとって，トピ文のような証明や 4: にあるパズルの解答のようなものより，11:柚実子さん や 101:に書かれていたユーモラスな例（それをふまえて103:を書きました）の方が，「納得」に結びつくのでしょう。このとき，トピ文のような証明や 4: にあるパズルの解答のようなものはより「納得」できない仮定にもとづく説明となる…。
なんか横槍な気がして、あと既出な気もするので恐縮です。
同値関係による自然数から整数の構築(同様に整数から有理数)は興味深いですよね。
既に同値関係の概況は語られているようです(?)のでその辺は省略しますが、自然数の代数系が前提であるとして(もうこの時点で卑怯なのがアレですが…)自然数Nに関して、集合N×Nに対し、関係〜を次のように定めます。
(a,b)〜(c,d) ⇔ a+d＝b+c (この+は通常の加法です)
するとこの関係〜はN×N上の同値関係になり、同値類
[(a,b)]＝{(x,y)|(x,y)〜(a,b)}
に関して商集合
(N×N)/〜＝{[(x,y)]|(x,y)∈N×N}
を作ることができます。
ここで[(a,b)]を改めて(a,b)と書くことにし、加法と乗法として
(a,b)＋(c,d)：＝(a+c,b+d)
(a,b)×(c,d)：＝(ac+bd,ad+bc)
と定めれば、これによって集合(N×N)/〜は環を成します。
更に
(a,0)をa
(0,b)を-b
を書くことにすれば、この(a,0)＝aがNの元aと、更に(0,b)が負数と同一視出来ます、また(a,a)は0と定めます。
更に、同値関係〜より、a≧bなるa,b∈Nに対して、
(a,b)〜(a,a-b)
ですので、商集合から
(a,0)、(a,a)、(0,b)
となる元を一つずつ取って集めた集合が整数環Zと同一視出来るということです。
概略を数学セミナーのどこかで覗いたと思ったのですが、かなり興味深い内容でした(コメントの内容は更に自分なりに加筆しています)。
これによって、
(a,0)×(0,b)
＝(a0+0b,ab+00)
＝(0,ab)
となり、整数に翻訳して(-a)(-b)＝abと出来ますね。
まぁ…なんか最後の式変形が気になりますが…
そう言えばこのままだと0∈Nを認めないといけない…？非負整数Z^+だったらよかったんですかね？
ちょっと混乱してきました、すいません…
同値関係による自然数から整数の構築(同様に整数から有理数)は興味深いですよね。
既に同値関係の概況は語られているようです(?)のでその辺は省略しますが、自然数の代数系が前提であるとして(もうこの時点で卑怯なのがアレですが…)自然数Nに関して、集合N×Nに対し、関係〜を次のように定めます。
(a,b)〜(c,d) ⇔ a+d＝b+c (この+は通常の加法です)
するとこの関係〜はN×N上の同値関係になり、同値類
[(a,b)]＝{(x,y)|(x,y)〜(a,b)}
に関して商集合
(N×N)/〜＝{[(x,y)]|(x,y)∈N×N}
を作ることができます。
ここで[(a,b)]を改めて(a,b)と書くことにし、加法と乗法として
(a,b)＋(c,d)：＝(a+c,b+d)
(a,b)×(c,d)：＝(ac+bd,ad+bc)
と定めれば、これによって集合(N×N)/〜は環を成します。
更に
(a,0)をa
(0,b)を-b
を書くことにすれば、この(a,0)＝aがNの元aと、更に(0,b)が負数と同一視出来ます、また(a,a)は0と定めます。
更に、同値関係〜より、a≧bなるa,b∈Nに対して、
(a,b)〜(a,a-b)
ですので、商集合から
(a,0)、(a,a)、(0,b)
となる元を一つずつ取って集めた集合が整数環Zと同一視出来るということです。
概略を数学セミナーのどこかで覗いたと思ったのですが、かなり興味深い内容でした(コメントの内容は更に自分なりに加筆しています)。
これによって、
(a,0)×(0,b)
＝(a0+0b,ab+00)
＝(0,ab)
となり、整数に翻訳して(-a)(-b)＝abと出来ますね。
まぁ…なんか最後の式変形が気になりますが…
そう言えばこのままだと0∈Nを認めないといけない…？非負整数Z^+だったらよかったんですかね？
ちょっと混乱してきました、すいません…
そもそも義務教育下で、厳密な数学(こんな微妙な語は使いたくないですが)を説明するに足る知識がないため、どうしても何かを端折るしかありません。
僕はそれを「お試し期間」と言っています。
軽々しく「公理」だとか「定義」だとかを論じても、まして「マイナス×マイナス」を演繹的に論じても、学生全員には「届かない」のが現実です。
そもそも生活の中で自然に、でも曖昧に自然数や整数環、有理数体、実数体などの概要を「感じ取っている」のを、改めてほじくりかえすと学生は混乱するでしょうね。
そもそも数学が感覚的なことから始まるのは当たり前です。
いきなり演繹的に論じるのは非常に難しいものです。
しかし、推論から始まる場合もあるとはいえ、それを結果的に演繹に、あるいは抽象的にもっていくのが数学であると僕は思っています。
学生(高校以下)で学ぶそれは、既に様々な識者が苦心して得られた抽象概念を「優し目に説明した」と理解してもらうのが妥当ではないでしょうか？
まぁ大雑把に言えば、あるいはちょっと気に障る(かもしれない)表現で言うならば、「それは確かに疑問に思うことだろうけど、取り敢えずそれは認めて、話を進めよう」とするしか無いと思います。
(代数学を学んでいない)学生に、代数系を論じたり、既に構築された代数系による系によって示すような矛盾を示したところで、それを知りたい学生に理解してもらえるかは疑問です。
つまり、「例を挙げて説明することは出来る(しかしそこには矛盾をはらんでいる)が証明によって示すには早い」ということです。
極論を言えば、四則演算はどうやって定義されているのか、数直線や平面上の点の挙動をどうして演算と関連付けられるのか、三角関数はどのように定義されているのか等々、(好奇心旺盛な)学生に聞かれたらどこまで答えればよいのでしょうか・・・
僕はそれを「お試し期間」と言っています。
軽々しく「公理」だとか「定義」だとかを論じても、まして「マイナス×マイナス」を演繹的に論じても、学生全員には「届かない」のが現実です。
そもそも生活の中で自然に、でも曖昧に自然数や整数環、有理数体、実数体などの概要を「感じ取っている」のを、改めてほじくりかえすと学生は混乱するでしょうね。
そもそも数学が感覚的なことから始まるのは当たり前です。
いきなり演繹的に論じるのは非常に難しいものです。
しかし、推論から始まる場合もあるとはいえ、それを結果的に演繹に、あるいは抽象的にもっていくのが数学であると僕は思っています。
学生(高校以下)で学ぶそれは、既に様々な識者が苦心して得られた抽象概念を「優し目に説明した」と理解してもらうのが妥当ではないでしょうか？
まぁ大雑把に言えば、あるいはちょっと気に障る(かもしれない)表現で言うならば、「それは確かに疑問に思うことだろうけど、取り敢えずそれは認めて、話を進めよう」とするしか無いと思います。
(代数学を学んでいない)学生に、代数系を論じたり、既に構築された代数系による系によって示すような矛盾を示したところで、それを知りたい学生に理解してもらえるかは疑問です。
つまり、「例を挙げて説明することは出来る(しかしそこには矛盾をはらんでいる)が証明によって示すには早い」ということです。
極論を言えば、四則演算はどうやって定義されているのか、数直線や平面上の点の挙動をどうして演算と関連付けられるのか、三角関数はどのように定義されているのか等々、(好奇心旺盛な)学生に聞かれたらどこまで答えればよいのでしょうか・・・
＞Sparrowhawkさん
なるほど…
どのみち、何か具体的な説明があって、
「とりあえず、Aというのは認めよう。すると、Bという結果が得られるんだ」
ということを、段階的に理解してもらうっていう…
つまり現在の数学教育に落ち着くのでしょうかね…
何だか数学の歴史の縮図を縮めるように理解していくというか…
>111であれだけ書いたとはいえ、114でのっちさんが仰ることも分かります。
僕は、当時そういうったことに特に疑問を感じず純粋に受け入れてきたので、改めて大学で群や環を習うことで今まで普通に使っていた演算、代数系の構造を知って多少なりとも感動したものです。
そういった「体験の一側面」で十分ということでしょうか…
あとよく見ると>111に訂正がありますので…
(a,0)×(0,b)
＝(a0+0b,ab+00)
＝(0,ab)
は
(0,a)×(0,b)
＝(00+ab,0b+b0)
＝(ab,0)
の間違いです、すいません。
なるほど…
どのみち、何か具体的な説明があって、
「とりあえず、Aというのは認めよう。すると、Bという結果が得られるんだ」
ということを、段階的に理解してもらうっていう…
つまり現在の数学教育に落ち着くのでしょうかね…
何だか数学の歴史の縮図を縮めるように理解していくというか…
>111であれだけ書いたとはいえ、114でのっちさんが仰ることも分かります。
僕は、当時そういうったことに特に疑問を感じず純粋に受け入れてきたので、改めて大学で群や環を習うことで今まで普通に使っていた演算、代数系の構造を知って多少なりとも感動したものです。
そういった「体験の一側面」で十分ということでしょうか…
あとよく見ると>111に訂正がありますので…
(a,0)×(0,b)
＝(a0+0b,ab+00)
＝(0,ab)
は
(0,a)×(0,b)
＝(00+ab,0b+b0)
＝(ab,0)
の間違いです、すいません。
> The theoryさん
>「とりあえず、Aというのは認めよう。すると、Bという結果が得られるんだ」
いえ各段階で数学的直観を伝えることが肝心だと思うのです。「厳密な証明」はその数学的直観がいかなるものか，一体なにを前提とすると「マイナス×マイナス＝プラス」と言えるのかなどについて少しハッキリみせてくれるでしょう。
>僕は、当時そういうったことに特に疑問を感じず純粋に受け入れてきたので、改めて大学で群や環を習うことで今まで普通に使っていた演算、代数系の構造を知って多少なりとも感動したものです。
代数系もある前提にもとづいているでしょう。さらにいえば別の前提にもとづいて「マイナス×マイナス＝プラス」とはならない体系を考えられるかもしれません。けれどそれらもある意味「マイナス×マイナス＝プラス」という直観にもとづいていたりします。そして群や環などは「マイナス×マイナス＝プラス」という直観の一つの表現とみることもできるのではないでしょうか。
その意味では「中学生の納得」の方が「厳密な証明」より「本質的」かもしれないと感じるのです。もし「マイナス×マイナス＝プラス」という直観がなければ，群や環などを考えることはなかったかもしれませんから…。そう考えると
>そういった「体験の一側面」
が必要だと思うのです。
>「とりあえず、Aというのは認めよう。すると、Bという結果が得られるんだ」
いえ各段階で数学的直観を伝えることが肝心だと思うのです。「厳密な証明」はその数学的直観がいかなるものか，一体なにを前提とすると「マイナス×マイナス＝プラス」と言えるのかなどについて少しハッキリみせてくれるでしょう。
>僕は、当時そういうったことに特に疑問を感じず純粋に受け入れてきたので、改めて大学で群や環を習うことで今まで普通に使っていた演算、代数系の構造を知って多少なりとも感動したものです。
代数系もある前提にもとづいているでしょう。さらにいえば別の前提にもとづいて「マイナス×マイナス＝プラス」とはならない体系を考えられるかもしれません。けれどそれらもある意味「マイナス×マイナス＝プラス」という直観にもとづいていたりします。そして群や環などは「マイナス×マイナス＝プラス」という直観の一つの表現とみることもできるのではないでしょうか。
その意味では「中学生の納得」の方が「厳密な証明」より「本質的」かもしれないと感じるのです。もし「マイナス×マイナス＝プラス」という直観がなければ，群や環などを考えることはなかったかもしれませんから…。そう考えると
>そういった「体験の一側面」
が必要だと思うのです。
> The theoryさん
「正しい」「マイナス×マイナス＝プラス」の説明
「正しい」数学
というものはないのではないかと思っています。と同時に目には見えない
数学的直観
というものから完全に自由になるということもない。それにどうアプローチするか？でいろいろな数学がありそうに思います。この両方があるので数学は豊かであるようにも。
集合論や代数学や解析学ひいては形式論理学などもそうしたアプローチの一つとして生まれ，その有効性から現在も利用されているのでしょう。そのアプローチの価値は大きいでしょうけれど，決してそれが「正しい」ものであるというわけではない。未解決問題があるというだけではなくこうした意味でも数学は「できあがった学問」ではなく常に未知のものと接していると感じます。そう考えると
中学生が「マイナス×マイナス＝プラス」についてどんな体験をするのか？
は十分（もしかすると数学的に）興味深い問いでありうる…。
「正しい」「マイナス×マイナス＝プラス」の説明
「正しい」数学
というものはないのではないかと思っています。と同時に目には見えない
数学的直観
というものから完全に自由になるということもない。それにどうアプローチするか？でいろいろな数学がありそうに思います。この両方があるので数学は豊かであるようにも。
集合論や代数学や解析学ひいては形式論理学などもそうしたアプローチの一つとして生まれ，その有効性から現在も利用されているのでしょう。そのアプローチの価値は大きいでしょうけれど，決してそれが「正しい」ものであるというわけではない。未解決問題があるというだけではなくこうした意味でも数学は「できあがった学問」ではなく常に未知のものと接していると感じます。そう考えると
中学生が「マイナス×マイナス＝プラス」についてどんな体験をするのか？
は十分（もしかすると数学的に）興味深い問いでありうる…。
一通り、全コメントを見て・・・いくつかの流れがあります。
中学生に【マイナス×マイナス＝プラス】を納得させるには？という方向で１つ。
>103:Sparrowhawkさん
と、似たような流れで。
前提として、（−５）×３＝−１５は納得しているという事にします。
（納得してないなら、それ以前の議論から始めますが）
この前提の元、自分は中学生にこんな風に質問します。
自分「−５×３は？」 生徒「−１５」
自分「−５×２は？」 生徒「−１０」
自分「−５×１は？」 生徒「−５」
自分「−５×０は？」 生徒「０」
後はこれをノートに書いて、最後の行に「−５×（−１）」を付け加えます。
−５× ３ ＝−１５
−５× ２ ＝−１０
−５× １ ＝− ５
−５× ０ ＝ ０
−５×（−１） ＝ ？
これを見せた後で、「【？】、何だと思う？」って感じで質問。
かける数が、「３→２→１→０→−１」と、１ずつ減ってるのが視覚的に見え、右辺も「−１５→−１０→−５→０」と、５ずつ増えているのを見せるのが目的。
（まぁ中学生なんで、等差数列とかいう言葉は使わず・・・）
経験上、一応「５」と答えてくれます。
（まぁ、わからないと言われた時は、右辺は５ずつ増えてるじゃん？と、誘導しますが・・・笑）
−５×（−１）＝５で、マイナス×マイナスがプラスになる例を、生徒の口から引き出すのがポイント。
中学生に公理系や、複素平面、群の話は出来ませんので・・・これで直感的に「５！」と答えてくれると、楽チンです。
（自分は、「君がプラスの５って、言ったやん！」と、プラスになるのはお前のせいだ、みたいな言い方します。笑）
中学生に【マイナス×マイナス＝プラス】を納得させるには？という方向で１つ。
>103:Sparrowhawkさん
と、似たような流れで。
前提として、（−５）×３＝−１５は納得しているという事にします。
（納得してないなら、それ以前の議論から始めますが）
この前提の元、自分は中学生にこんな風に質問します。
自分「−５×３は？」 生徒「−１５」
自分「−５×２は？」 生徒「−１０」
自分「−５×１は？」 生徒「−５」
自分「−５×０は？」 生徒「０」
後はこれをノートに書いて、最後の行に「−５×（−１）」を付け加えます。
−５× ３ ＝−１５
−５× ２ ＝−１０
−５× １ ＝− ５
−５× ０ ＝ ０
−５×（−１） ＝ ？
これを見せた後で、「【？】、何だと思う？」って感じで質問。
かける数が、「３→２→１→０→−１」と、１ずつ減ってるのが視覚的に見え、右辺も「−１５→−１０→−５→０」と、５ずつ増えているのを見せるのが目的。
（まぁ中学生なんで、等差数列とかいう言葉は使わず・・・）
経験上、一応「５」と答えてくれます。
（まぁ、わからないと言われた時は、右辺は５ずつ増えてるじゃん？と、誘導しますが・・・笑）
−５×（−１）＝５で、マイナス×マイナスがプラスになる例を、生徒の口から引き出すのがポイント。
中学生に公理系や、複素平面、群の話は出来ませんので・・・これで直感的に「５！」と答えてくれると、楽チンです。
（自分は、「君がプラスの５って、言ったやん！」と、プラスになるのはお前のせいだ、みたいな言い方します。笑）
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