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コメント(306)
>266:ときお【松ぼっくり】さん
>単に極限値があるだけで連続じゃなければ微分係数がある（＝微分可能である）ことにはなりえないわけです。
関数
f(h)=9.8t+4.9h（h≠0）
は，h→0 のとき 9.8t に収束し（極限値 9.8t），h=0 で微分可能でも連続でもない。そして，関数 g(t)＝4.9t^2 は微分可能で連続でしょう。g(t) が微分可能であるということは，f(h) が h→0 のとき収束することに他ならないし，f(h) が連続であることや微分可能であることなどは必要ない（実際微分可能でも連続でもない）でしょう。
定義をあいまいにしていればなんでも矛盾にみえるかもしれませんが，だからといって矛盾していないものまで矛盾しているという矛盾した議論をしたうえ，
>微分は矛盾であるという本質
とおっしゃるのを読むと，単に矛盾をでっち上げていらっしゃるだけのように感じてしまいます。矛盾した議論からはいくらでも矛盾が導けるでしょうけれど…。
>あたかも古典論理であるかのように見せ掛けながら無限小という概念のうちにこっそり矛盾をひそませているとか定義や公理のうちに矛盾をじつは押し込めている、いわば「隠れ矛盾許容論理」のことです。
それはときお【松ぼっくり】さんにとっての直感的真実かもしれません。でもそこにおいて矛盾を押し込めているのは，あいまいな定義と直感にもとづいたあいまいな議論（それをさして矛盾許容論理とおっしゃっているのでしょうけれど）の方でしょう。
ヒルベルトやゲーデルが話題にした自然数論や実数論（算術）の無矛盾性は，そのような議論とは別の次元の話のようです。
>単に極限値があるだけで連続じゃなければ微分係数がある（＝微分可能である）ことにはなりえないわけです。
関数
f(h)=9.8t+4.9h（h≠0）
は，h→0 のとき 9.8t に収束し（極限値 9.8t），h=0 で微分可能でも連続でもない。そして，関数 g(t)＝4.9t^2 は微分可能で連続でしょう。g(t) が微分可能であるということは，f(h) が h→0 のとき収束することに他ならないし，f(h) が連続であることや微分可能であることなどは必要ない（実際微分可能でも連続でもない）でしょう。
定義をあいまいにしていればなんでも矛盾にみえるかもしれませんが，だからといって矛盾していないものまで矛盾しているという矛盾した議論をしたうえ，
>微分は矛盾であるという本質
とおっしゃるのを読むと，単に矛盾をでっち上げていらっしゃるだけのように感じてしまいます。矛盾した議論からはいくらでも矛盾が導けるでしょうけれど…。
>あたかも古典論理であるかのように見せ掛けながら無限小という概念のうちにこっそり矛盾をひそませているとか定義や公理のうちに矛盾をじつは押し込めている、いわば「隠れ矛盾許容論理」のことです。
それはときお【松ぼっくり】さんにとっての直感的真実かもしれません。でもそこにおいて矛盾を押し込めているのは，あいまいな定義と直感にもとづいたあいまいな議論（それをさして矛盾許容論理とおっしゃっているのでしょうけれど）の方でしょう。
ヒルベルトやゲーデルが話題にした自然数論や実数論（算術）の無矛盾性は，そのような議論とは別の次元の話のようです。
>Sparrowhawkさん
>関数
> f(h)=9.8t+4.9h（h≠0）
>
>は，h→0 のとき 9.8t に収束し（極限値 9.8t），h=0 で微分可能でも連続でもない。そして，関数 g(t)＝4.9t^2 は微分可能で連続でしょう。g(t) が微分可能であるということは，f(h) が h→0 のとき収束することに他ならないし，f(h) が連続であることや微分可能であることなどは必要ない（実際微分可能でも連続でもない）でしょう。
「微分可能であること」の上に「導関数が連続であること」（＝関数が滑らかであること）までも言える必要はないです。
たとえばf(x)=x^2sin(1/x),f(0)=0はx=0で微分可能だけどその導関数f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)はx=0において連続でない。
このときf(0)のことを「尖点」（cusp）と言います。
（以上はSparrowhawkさんが仰ったことと同じことを言っただけであることにご注意下さい）
そうでなく僕が言っているのは「（導関数でなく関数が）連続でなければ（導関数でなく関数が）微分可能でない」ということです。
>関数
> f(h)=9.8t+4.9h（h≠0）
>
>は，h→0 のとき 9.8t に収束し（極限値 9.8t），h=0 で微分可能でも連続でもない。そして，関数 g(t)＝4.9t^2 は微分可能で連続でしょう。g(t) が微分可能であるということは，f(h) が h→0 のとき収束することに他ならないし，f(h) が連続であることや微分可能であることなどは必要ない（実際微分可能でも連続でもない）でしょう。
「微分可能であること」の上に「導関数が連続であること」（＝関数が滑らかであること）までも言える必要はないです。
たとえばf(x)=x^2sin(1/x),f(0)=0はx=0で微分可能だけどその導関数f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)はx=0において連続でない。
このときf(0)のことを「尖点」（cusp）と言います。
（以上はSparrowhawkさんが仰ったことと同じことを言っただけであることにご注意下さい）
そうでなく僕が言っているのは「（導関数でなく関数が）連続でなければ（導関数でなく関数が）微分可能でない」ということです。
>268:ときお【松ぼっくり】さん
>「微分可能であること」の上に「導関数が連続であること」（＝関数が滑らかであること）までも言える必要はないです。
267: の f(h) は g(t) の導関数ではないでしょう…なので，
> Sparrowhawkさんが仰ったことと同じことを言っただけ
ではないでしょう。
>そうでなく僕が言っているのは「（導関数でなく関数が）連続でなければ（導関数でなく関数が）微分可能でない」ということです。
267:の f(h) が不連続ですが，g(t) は連続で微分可能でしょう。そして，g(t) の導関数は lim_{h→0}{f(h)} であって f(h) ではないでしょう…。
>「微分可能であること」の上に「導関数が連続であること」（＝関数が滑らかであること）までも言える必要はないです。
267: の f(h) は g(t) の導関数ではないでしょう…なので，
> Sparrowhawkさんが仰ったことと同じことを言っただけ
ではないでしょう。
>そうでなく僕が言っているのは「（導関数でなく関数が）連続でなければ（導関数でなく関数が）微分可能でない」ということです。
267:の f(h) が不連続ですが，g(t) は連続で微分可能でしょう。そして，g(t) の導関数は lim_{h→0}{f(h)} であって f(h) ではないでしょう…。
落体の法則s=4.9t^2を微分の定義式に従ってv=9.8t+4.9hと計算すればh→±0のときの右極限と左極限が一致してそれらはh=0のときの関数v=9.8tに一致します。
このように、vが連続的に変化するという観察事実は、v=9.8tがa=9.8と微分可能だから連続であるという数学的事実に、対応しています。
しかも、hを正から0に近づけても負から0に近づけてもtからt+hまでの間の平均速度はv=9.8tに限りなく近づくから、tでの瞬間速度はv=9.8tでなければならない。
微分の定義式の分母がh≠0であるという規約の下での計算結果であるv=9.8t+4.9hにh=0を代入しなければv=9.8tという観察事実と一致しない、という矛盾がここにあるわけです。
つまり微分とは0/0=1のことでそれを9.8t倍したものがv=ds/dt=9.8tです。
0/0=(0+0)/0=(0/0)+(0/0)=1+1=2というふうに分子に0を倍加した分だけ分数全体が倍増して2倍にも3倍にも4倍にもなります。
もしも0に大きさがなければ0+0=0というふうに2倍しても大きさは増加しないはずだから微分0/0の計算結果も変化しないはずなのに実際には変化する、ということは、大きさのない0に大きさがあるという矛盾がある、ということです。
つまり、落体の法則の微分のように0と0の比の値が1にならないところに0>0であるという矛盾があって、この矛盾を無限小と言うわけです。
このように、vが連続的に変化するという観察事実は、v=9.8tがa=9.8と微分可能だから連続であるという数学的事実に、対応しています。
しかも、hを正から0に近づけても負から0に近づけてもtからt+hまでの間の平均速度はv=9.8tに限りなく近づくから、tでの瞬間速度はv=9.8tでなければならない。
微分の定義式の分母がh≠0であるという規約の下での計算結果であるv=9.8t+4.9hにh=0を代入しなければv=9.8tという観察事実と一致しない、という矛盾がここにあるわけです。
つまり微分とは0/0=1のことでそれを9.8t倍したものがv=ds/dt=9.8tです。
0/0=(0+0)/0=(0/0)+(0/0)=1+1=2というふうに分子に0を倍加した分だけ分数全体が倍増して2倍にも3倍にも4倍にもなります。
もしも0に大きさがなければ0+0=0というふうに2倍しても大きさは増加しないはずだから微分0/0の計算結果も変化しないはずなのに実際には変化する、ということは、大きさのない0に大きさがあるという矛盾がある、ということです。
つまり、落体の法則の微分のように0と0の比の値が1にならないところに0>0であるという矛盾があって、この矛盾を無限小と言うわけです。
(I1) ある数 ａが存在して，任意の数 b にたいし，
ａ+x=b
y+ａ=b
となる数 x，y が一意に存在する。
(I2) （+ の結合法則）任意の数 a，b，c にたいし，a+(b+c)=(a+b)+c が成り立つ。
(II1) ある数 ａが存在して，任意の数 b にたいし，
ａ＋ａ≠ａ
ａ×x=b
y×ａ=b
となる数 x，y が一意に存在する。
(II2) （× の結合法則）任意の数 a，b，c にたいし，a×(b×c)=(a×b)×c が成り立つ。
(III) （分配法則）任意の数 a，b，c にたいし，
a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
(a+b)×c=(a×c)+(b×c)
が成り立つ。
のみの仮定のもとで，
任意の数 b にたいし，
b+０=０+b=b
b×１＝１×b=b
０≠１
なる，数０，１が一意に存在する。
（+ の交換法則）任意の数 b，c にたいし，
b+c=c+b
が成り立つ。
がいえる。
逆演算 − や ÷ の可能性（もとに戻せること），結合法則（+ どうし，× どうしの順序を無視できること），そして分配法則（+ が可換であることと × の次元とのかかわり）は × と + にとって本質的なようにみえる…さらに
(IV) 大小関係（<）の仮定（順序体であること）
(V) 連続性についての仮定（アルキメデス性と完備性）
をつけ加えれば，実数そのものが得られる…。
これらの仮定は抽象によって整理されたということもできるが，同時に，素朴な + や × についての直観にもとづいたものであり，これらの法則に気づいているか否かにかかわらず，少なくとも(I1)(I2)(II1)(II2)(III)の（無意識的な）使用の歴史は古代にまで遡れそうに感じられる…。
ａ+x=b
y+ａ=b
となる数 x，y が一意に存在する。
(I2) （+ の結合法則）任意の数 a，b，c にたいし，a+(b+c)=(a+b)+c が成り立つ。
(II1) ある数 ａが存在して，任意の数 b にたいし，
ａ＋ａ≠ａ
ａ×x=b
y×ａ=b
となる数 x，y が一意に存在する。
(II2) （× の結合法則）任意の数 a，b，c にたいし，a×(b×c)=(a×b)×c が成り立つ。
(III) （分配法則）任意の数 a，b，c にたいし，
a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
(a+b)×c=(a×c)+(b×c)
が成り立つ。
のみの仮定のもとで，
任意の数 b にたいし，
b+０=０+b=b
b×１＝１×b=b
０≠１
なる，数０，１が一意に存在する。
（+ の交換法則）任意の数 b，c にたいし，
b+c=c+b
が成り立つ。
がいえる。
逆演算 − や ÷ の可能性（もとに戻せること），結合法則（+ どうし，× どうしの順序を無視できること），そして分配法則（+ が可換であることと × の次元とのかかわり）は × と + にとって本質的なようにみえる…さらに
(IV) 大小関係（<）の仮定（順序体であること）
(V) 連続性についての仮定（アルキメデス性と完備性）
をつけ加えれば，実数そのものが得られる…。
これらの仮定は抽象によって整理されたということもできるが，同時に，素朴な + や × についての直観にもとづいたものであり，これらの法則に気づいているか否かにかかわらず，少なくとも(I1)(I2)(II1)(II2)(III)の（無意識的な）使用の歴史は古代にまで遡れそうに感じられる…。
>275:
ちなみに × の可換性は(I1)(I2)(II1)(II2)(III)(IV)だけからは論理的には導き得ない。したがって，× の可換性は連続性についてのなんらかの直観（アルキメデス性）にもとづいているといえる。× の可換性が歴史的に古いという主張からは，(I1)(I2)(II1)(II2)(III)(IV)および(V)のアルキメデス性までの（無意識的な）使用の歴史は古代にまで遡れることが帰結される…したがって数学的にみえる 275: の話題は歴史的な話題ともいえることになる…。
分配法則の下では，数（量）などの対象は積（×）の和（+）として表すことが機械的にできる…それゆえ × は + に先行するとした方が効率がよい…。
ちなみに × の可換性は(I1)(I2)(II1)(II2)(III)(IV)だけからは論理的には導き得ない。したがって，× の可換性は連続性についてのなんらかの直観（アルキメデス性）にもとづいているといえる。× の可換性が歴史的に古いという主張からは，(I1)(I2)(II1)(II2)(III)(IV)および(V)のアルキメデス性までの（無意識的な）使用の歴史は古代にまで遡れることが帰結される…したがって数学的にみえる 275: の話題は歴史的な話題ともいえることになる…。
分配法則の下では，数（量）などの対象は積（×）の和（+）として表すことが機械的にできる…それゆえ × は + に先行するとした方が効率がよい…。
>273:ときお【松ぼっくり】さん
>微分の定義式の分母がh≠0であるという規約の下での計算結果であるv=9.8t+4.9hにh=0を代入しなければv=9.8tという観察事実と一致しない、という矛盾がここにあるわけです。
9.8t+4.9h に h=0 を代入しなくても，h を限りなく 0 に近づければ，v=9.8t という結果が得られる。そして，f(h)＝{s(t+h)-s(t)}/h＝9.8t+4.9h ，v＝ds/dt＝lim_{h→0}{f(h)} であって，v=9.8t+4.9h ではないでしょう。261:でもそのようなのですが，ときお【松ぼっくり】さんは，{s(t+h)-s(t)}/h と ds/dt を混同されているようです。
>つまり微分とは0/0=1のことでそれを9.8t倍したものがv=ds/dt=9.8tです。
そこから矛盾が導かれるということは，通常，数学が矛盾しているからではなく，単にそれが誤りであることを示しているとされるでのしょう。
>つまり、落体の法則の微分のように0と0の比の値が1にならないところに0>0であるという矛盾があって、この矛盾を無限小と言うわけです。
それをときお【松ぼっくり】さんが無限小と呼ぶのは自由かもしれませんが，そのような矛盾した無限小から矛盾に至るのは，そのようなものを無限小と呼んだからでしょう。
「× は ＋ で定義されている」は無限回の操作の結果の利用に結びつき，「× の可換性」がアルキメデス性とかかわりをもつとしても，ときお【松ぼっくり】さんが話題にされている数の完備性（デデキント連続性）については，「× が ＋ より先にやる理由」とのかかわりは薄いように感じます…しいていえば，適当な非アルキメデス順序体によって無限小が正当化できることがあげられるくらいでしょう…。
>微分の定義式の分母がh≠0であるという規約の下での計算結果であるv=9.8t+4.9hにh=0を代入しなければv=9.8tという観察事実と一致しない、という矛盾がここにあるわけです。
9.8t+4.9h に h=0 を代入しなくても，h を限りなく 0 に近づければ，v=9.8t という結果が得られる。そして，f(h)＝{s(t+h)-s(t)}/h＝9.8t+4.9h ，v＝ds/dt＝lim_{h→0}{f(h)} であって，v=9.8t+4.9h ではないでしょう。261:でもそのようなのですが，ときお【松ぼっくり】さんは，{s(t+h)-s(t)}/h と ds/dt を混同されているようです。
>つまり微分とは0/0=1のことでそれを9.8t倍したものがv=ds/dt=9.8tです。
そこから矛盾が導かれるということは，通常，数学が矛盾しているからではなく，単にそれが誤りであることを示しているとされるでのしょう。
>つまり、落体の法則の微分のように0と0の比の値が1にならないところに0>0であるという矛盾があって、この矛盾を無限小と言うわけです。
それをときお【松ぼっくり】さんが無限小と呼ぶのは自由かもしれませんが，そのような矛盾した無限小から矛盾に至るのは，そのようなものを無限小と呼んだからでしょう。
「× は ＋ で定義されている」は無限回の操作の結果の利用に結びつき，「× の可換性」がアルキメデス性とかかわりをもつとしても，ときお【松ぼっくり】さんが話題にされている数の完備性（デデキント連続性）については，「× が ＋ より先にやる理由」とのかかわりは薄いように感じます…しいていえば，適当な非アルキメデス順序体によって無限小が正当化できることがあげられるくらいでしょう…。
> Sparrowhawkさん
ずっと分からなかったのですが、そもそもf(h)とは何ですか。
f(t)の間違いですか。
というか、多分混乱してらっしゃるのだと思いますけど、本当は解析学の根底は根深いんですよ。
根底にあるのが僕が摘出して見せた「大きさがない０に無限小の大きさがある」という矛盾なんです。
この矛盾を糊塗するために解析学全体があると言っても言い過ぎでないくらい根深い問題なんです。
矛盾を矛盾と認めることができないほど感情的であることが数学者であるための必要条件だと言っても過言でないくらいで、この議題を取り扱う場面はぶっちゃけ感情的様相を呈するんです。
x_n=(1/2)^(n-1)という数列を考えてn→∞とすれば{1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16・・・}というふうに分子が1のままで分母は∞に飛びます。
この無限数列の和が2に収束することは先述の通りですが、アキレスが有限時間内で亀に追い付くことから分かるように1/∞=0だから、0×∞=1になります。
これが積分の考え方です。
0も無限大個集積すれば１という大きさのある量になるということは、「0にじつは無限小の大きさが含まれていた」ということです。
たとえば分数関数y=1/xのグラフは(0,0)(x,0)(0,y)(x,y)を頂点とする長方形の面積が1になるようなグラフすなわちy×x=1のグラフですが、この漸近線は0×∞=1というふうにx軸と無限遠で交わるわけです。
x軸の正の部分の面積が1であるという「次元の崩壊」がここでも起きてしまうわけですね（「線にじつは面が含まれていた」）。
そして同様にこの漸近線は∞×0=1というふうにy軸とも無限遠で交わります。
つまり∞=1/0ですが、1/0の解は+∞だけではなくて-∞もありますね。
分母を+から0に近づけた場合と-から0に近づけた場合があるわけです。
定数を定数で割った値が一定にならないはずはないわけで、±∞は一致しなければならないから、y軸という曲率0の直線は曲率無限小の円になっていて数直線がループを作っていることになります。
「矛盾」が如何に醜悪に感じられようとも「無限」とはそういう領域なのです。
ちなみに、標準理論によれば素粒子は大きさ0の点粒子ですが、それが大きさのある世界を合成できることも、数理科学者が矛盾を矛盾と認めることができない限りは、謎のままであり続けます。
ずっと分からなかったのですが、そもそもf(h)とは何ですか。
f(t)の間違いですか。
というか、多分混乱してらっしゃるのだと思いますけど、本当は解析学の根底は根深いんですよ。
根底にあるのが僕が摘出して見せた「大きさがない０に無限小の大きさがある」という矛盾なんです。
この矛盾を糊塗するために解析学全体があると言っても言い過ぎでないくらい根深い問題なんです。
矛盾を矛盾と認めることができないほど感情的であることが数学者であるための必要条件だと言っても過言でないくらいで、この議題を取り扱う場面はぶっちゃけ感情的様相を呈するんです。
x_n=(1/2)^(n-1)という数列を考えてn→∞とすれば{1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16・・・}というふうに分子が1のままで分母は∞に飛びます。
この無限数列の和が2に収束することは先述の通りですが、アキレスが有限時間内で亀に追い付くことから分かるように1/∞=0だから、0×∞=1になります。
これが積分の考え方です。
0も無限大個集積すれば１という大きさのある量になるということは、「0にじつは無限小の大きさが含まれていた」ということです。
たとえば分数関数y=1/xのグラフは(0,0)(x,0)(0,y)(x,y)を頂点とする長方形の面積が1になるようなグラフすなわちy×x=1のグラフですが、この漸近線は0×∞=1というふうにx軸と無限遠で交わるわけです。
x軸の正の部分の面積が1であるという「次元の崩壊」がここでも起きてしまうわけですね（「線にじつは面が含まれていた」）。
そして同様にこの漸近線は∞×0=1というふうにy軸とも無限遠で交わります。
つまり∞=1/0ですが、1/0の解は+∞だけではなくて-∞もありますね。
分母を+から0に近づけた場合と-から0に近づけた場合があるわけです。
定数を定数で割った値が一定にならないはずはないわけで、±∞は一致しなければならないから、y軸という曲率0の直線は曲率無限小の円になっていて数直線がループを作っていることになります。
「矛盾」が如何に醜悪に感じられようとも「無限」とはそういう領域なのです。
ちなみに、標準理論によれば素粒子は大きさ0の点粒子ですが、それが大きさのある世界を合成できることも、数理科学者が矛盾を矛盾と認めることができない限りは、謎のままであり続けます。
> Sparrowhawkさん
> f(h)＝{s(t+h)-s(t)}/h＝9.8t+4.9h
>
>とおくと，
>
> v＝ds/dt＝lim_{h→0}{f(h)}＝9.8t
9.8t+4.9hが差分（つまりhが有限値）で9.8tが微分（つまりhが無限小）ですね。
僕は一貫してhという記号を無限小の意味で使ってます。
無限小とは0が0のままでそれでいてしかもなおかつ有限値であるような矛盾のことです。
>そこから矛盾が導かれる，したがって，
>
> 0×∞＝1 ではない。
では、1/∞=0であることは認めますか。
アキレスが亀にn-1回追いつくとして、n-1回目に追い付いた時点のアキレスから亀までの距離をx_n =(1/2)^(n-1)とすると、{1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16・・・,1/∞}となりますが、最後に追いついた時点で距離は0でなければならないから、この無限数列の末項は1/∞=0になります。
つまり、1を∞等分すれば0になるということです。
逆に言えば0を∞個取り集めれば1になるという積分は無から有が生まれる原理を解き明かすものです。
無というのは虚空蔵と言って有を内蔵した無のことで、0がじつは無限小の大きさを内蔵していることを言い表しています。
あるいは、1=(1/3)×3=0.333333・・・×3=0.999999・・・において、0.999999・・・は1-(1/10)^nでnを限り無く大きくしたものだから1=1-(1/∞)ゆえに1/∞=0。
>0≠1 だから、0×0≠1×0 になります。これは 0≠0 という矛盾となるのです。解析学以前の算術の根底も根深いんです。
同じ0に異なる演算子（0×という演算子と1×という演算子）を作用させたら結果は異なるはずだということですね。
そのことは、0に無限小の大きさが内蔵されていて無限小同士に大小関係があるからだという僕の話で説明できます。
> f(h)＝{s(t+h)-s(t)}/h＝9.8t+4.9h
>
>とおくと，
>
> v＝ds/dt＝lim_{h→0}{f(h)}＝9.8t
9.8t+4.9hが差分（つまりhが有限値）で9.8tが微分（つまりhが無限小）ですね。
僕は一貫してhという記号を無限小の意味で使ってます。
無限小とは0が0のままでそれでいてしかもなおかつ有限値であるような矛盾のことです。
>そこから矛盾が導かれる，したがって，
>
> 0×∞＝1 ではない。
では、1/∞=0であることは認めますか。
アキレスが亀にn-1回追いつくとして、n-1回目に追い付いた時点のアキレスから亀までの距離をx_n =(1/2)^(n-1)とすると、{1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16・・・,1/∞}となりますが、最後に追いついた時点で距離は0でなければならないから、この無限数列の末項は1/∞=0になります。
つまり、1を∞等分すれば0になるということです。
逆に言えば0を∞個取り集めれば1になるという積分は無から有が生まれる原理を解き明かすものです。
無というのは虚空蔵と言って有を内蔵した無のことで、0がじつは無限小の大きさを内蔵していることを言い表しています。
あるいは、1=(1/3)×3=0.333333・・・×3=0.999999・・・において、0.999999・・・は1-(1/10)^nでnを限り無く大きくしたものだから1=1-(1/∞)ゆえに1/∞=0。
>0≠1 だから、0×0≠1×0 になります。これは 0≠0 という矛盾となるのです。解析学以前の算術の根底も根深いんです。
同じ0に異なる演算子（0×という演算子と1×という演算子）を作用させたら結果は異なるはずだということですね。
そのことは、0に無限小の大きさが内蔵されていて無限小同士に大小関係があるからだという僕の話で説明できます。
>ときお【松ぼっくり】さん
>無限小とは0が0のままでそれでいてしかもなおかつ有限値であるような矛盾のことです。
0 は有限ですから，矛盾ではないでしょう。
>では、1/∞=0であることは認めますか。
そう定義して，0×∞＝1 をあいまいなまま成り立つとしたり，「この無限数列の末項」といったあいまいなことをいいださなければ矛盾はおきません。矛盾した議論から容易に矛盾が導かれますし，無矛盾であることすら示せますが，そうすることに意味はないでしょう。
たとえば，
∞＋∞＝∞ だから、∞＝0 になります。これは 0 には無限小の大きさだけでなく無限大も内蔵されているという積分はわけのわからない原理を解き明かすものです。
といった文になにか意味があるようには思えませんし，ときお【松ぼっくり】さんの議論が「×が＋より先にやる理由」と関係があるようにも思えません。
>無限小とは0が0のままでそれでいてしかもなおかつ有限値であるような矛盾のことです。
0 は有限ですから，矛盾ではないでしょう。
>では、1/∞=0であることは認めますか。
そう定義して，0×∞＝1 をあいまいなまま成り立つとしたり，「この無限数列の末項」といったあいまいなことをいいださなければ矛盾はおきません。矛盾した議論から容易に矛盾が導かれますし，無矛盾であることすら示せますが，そうすることに意味はないでしょう。
たとえば，
∞＋∞＝∞ だから、∞＝0 になります。これは 0 には無限小の大きさだけでなく無限大も内蔵されているという積分はわけのわからない原理を解き明かすものです。
といった文になにか意味があるようには思えませんし，ときお【松ぼっくり】さんの議論が「×が＋より先にやる理由」と関係があるようにも思えません。
> Sparrowhawkさん
>>無限小とは0が0のままでそれでいてしかもなおかつ有限値であるような矛盾のことです。
>
>0 は有限ですから，矛盾ではないでしょう。
直前に断っておいた通り、差分の意味で有限と言いました。
微分記号がその次に書く量の無限小の増分を表すのに対して、差分記号はその次に書く量の有限な増分を表します。
>>では、1/∞=0であることは認めますか。
>
>そう定義して，
定義でなく解析学が正しければ直ちに導かれる系です。
「アキレスと亀」および「1=0.999999・・・」という二通りの方法で導きましたが、この結果を、認めるのですか、それとも認めないのですか（認めないとすれば本当のところはどうなのだとお考えですか）。
>「この無限数列の末項」といったあいまいなことをいいださなければ矛盾はおきません。
アキレスが亀から1mだけ離れてる地点から追い掛け始めるとして亀がアキレスの半分の速さで逃げてくとすると1+1/2+1/4+1/8+1/16・・・=2だからアキレスはスタート地点から2mのところで追いつきます。
ということはこの無限数列に末項が存在してそれは1/∞=0でなければならない。
なぜならば、亀がもといたところにアキレスが追いつくということを無限回やり終えたわけだから。
この矛盾は自然数を数え上げ終えるという矛盾と同構造ですね。
アキレスが亀に無限回追いつき終えることは自然数を数え上げ終えることと同じ矛盾だと先述した通りです。
現実には存在する矛盾を摘発して見せただけです。
もしも現実を正しく反映する論理があればそれは「この無限数列の末項」という形容矛盾を許容するという意味での「矛盾許容論理」でしかありえないのです。
あくまでも「隠れ矛盾許容論理」だから、Sparrowhawkさんも対外的な表向きとしては矛盾を矛盾と認めてなくても内心ではもうこっそり認めてらっしゃるんだと思いますけどね。
>>無限小とは0が0のままでそれでいてしかもなおかつ有限値であるような矛盾のことです。
>
>0 は有限ですから，矛盾ではないでしょう。
直前に断っておいた通り、差分の意味で有限と言いました。
微分記号がその次に書く量の無限小の増分を表すのに対して、差分記号はその次に書く量の有限な増分を表します。
>>では、1/∞=0であることは認めますか。
>
>そう定義して，
定義でなく解析学が正しければ直ちに導かれる系です。
「アキレスと亀」および「1=0.999999・・・」という二通りの方法で導きましたが、この結果を、認めるのですか、それとも認めないのですか（認めないとすれば本当のところはどうなのだとお考えですか）。
>「この無限数列の末項」といったあいまいなことをいいださなければ矛盾はおきません。
アキレスが亀から1mだけ離れてる地点から追い掛け始めるとして亀がアキレスの半分の速さで逃げてくとすると1+1/2+1/4+1/8+1/16・・・=2だからアキレスはスタート地点から2mのところで追いつきます。
ということはこの無限数列に末項が存在してそれは1/∞=0でなければならない。
なぜならば、亀がもといたところにアキレスが追いつくということを無限回やり終えたわけだから。
この矛盾は自然数を数え上げ終えるという矛盾と同構造ですね。
アキレスが亀に無限回追いつき終えることは自然数を数え上げ終えることと同じ矛盾だと先述した通りです。
現実には存在する矛盾を摘発して見せただけです。
もしも現実を正しく反映する論理があればそれは「この無限数列の末項」という形容矛盾を許容するという意味での「矛盾許容論理」でしかありえないのです。
あくまでも「隠れ矛盾許容論理」だから、Sparrowhawkさんも対外的な表向きとしては矛盾を矛盾と認めてなくても内心ではもうこっそり認めてらっしゃるんだと思いますけどね。
>ときお【松ぼっくり】さん
>もしも現実を正しく反映する論理があればそれは「この無限数列の末項」という形容矛盾を許容するという意味での「矛盾許容論理」でしかありえないのです。
明らかに矛盾を含んだときお【松ぼっくり】さんの論理ではなく，275:(I1)(I2)(II1)(II2)(III)(IV) に，
任意の数 a，b にたいし，a×b＝b×a
Ｎ を定数記号として，
１＜Ｎ，１＋１＜Ｎ，１＋１＋１＜Ｎ，… （非アルキメデス性）
などを公理としてつけ加えた体系を考えれば（このつけ加えを「完了」する必要はありません），任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」に対し，
１/Ｎ＜１/（１＋１＋…＋１）
が証明可能な（「矛盾を許容しない」）体系を考えることができます。そこでは，どんな自然数（任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」）より大きいという意味で，Ｎは無限大と言ってよいかも知れませんし，どんな自然数（任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」）の逆数より小さいという意味で，１/Ｎ は無限小といってよいかもしれません。この体系で，
S_１＝１，S_{n+１}＝S_n ＋ １/((１＋１)^n)
によって定義される数列 {S_n} について， 任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」に対し，
(１＋１) − S_Ｎ ＜ １/(１＋１＋…＋１)
が証明可能でしょう。けれど，S_Ｎ は数列 {S_n} の「末項」ではなく，S_{Ｎ＋１} が次の項となるでしょう。
差が任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」の逆数よりも小さい２数 a，b にたいし，
a ≈ b
と書くことにすれば，
s(t)＝4.9t^2
のとき，dt≈０ ，dt≠０，ds＝s(t+dt)-s(t) とすると，
ds/dt＝9.8t+4.9dt≈9.8t
が証明可能でしょう。
>もしも現実を正しく反映する論理があればそれは「この無限数列の末項」という形容矛盾を許容するという意味での「矛盾許容論理」でしかありえないのです。
明らかに矛盾を含んだときお【松ぼっくり】さんの論理ではなく，275:(I1)(I2)(II1)(II2)(III)(IV) に，
任意の数 a，b にたいし，a×b＝b×a
Ｎ を定数記号として，
１＜Ｎ，１＋１＜Ｎ，１＋１＋１＜Ｎ，… （非アルキメデス性）
などを公理としてつけ加えた体系を考えれば（このつけ加えを「完了」する必要はありません），任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」に対し，
１/Ｎ＜１/（１＋１＋…＋１）
が証明可能な（「矛盾を許容しない」）体系を考えることができます。そこでは，どんな自然数（任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」）より大きいという意味で，Ｎは無限大と言ってよいかも知れませんし，どんな自然数（任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」）の逆数より小さいという意味で，１/Ｎ は無限小といってよいかもしれません。この体系で，
S_１＝１，S_{n+１}＝S_n ＋ １/((１＋１)^n)
によって定義される数列 {S_n} について， 任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」に対し，
(１＋１) − S_Ｎ ＜ １/(１＋１＋…＋１)
が証明可能でしょう。けれど，S_Ｎ は数列 {S_n} の「末項」ではなく，S_{Ｎ＋１} が次の項となるでしょう。
差が任意有限個の１の和「１＋１＋…＋１」の逆数よりも小さい２数 a，b にたいし，
a ≈ b
と書くことにすれば，
s(t)＝4.9t^2
のとき，dt≈０ ，dt≠０，ds＝s(t+dt)-s(t) とすると，
ds/dt＝9.8t+4.9dt≈9.8t
が証明可能でしょう。
>291:YP さん
>a+bcという式があって、これを(a+b)cと計算できないということですよね。
トピ文を読むかぎり，式
a＋b×c
を，
(a＋b)×c
ではなく，
a＋(b×c)
と計算する（「×が＋より先にやる」）数学的理由が問われているようです。
>『数学用語と記号ものがたり』（片野善一郎）を参照されるのが一番理解が深まると思います。
その本を参考にされたと思われる方々は，このトピックのコメントにおいて，上記の問いに答えることを放棄され数学的理由には直接かかわらない話題を展開されてきたか，「×が＋より先にやる」という前提から「×が＋より先にやる理由」を説明されていたようでした…。
>a+bcという式があって、これを(a+b)cと計算できないということですよね。
トピ文を読むかぎり，式
a＋b×c
を，
(a＋b)×c
ではなく，
a＋(b×c)
と計算する（「×が＋より先にやる」）数学的理由が問われているようです。
>『数学用語と記号ものがたり』（片野善一郎）を参照されるのが一番理解が深まると思います。
その本を参考にされたと思われる方々は，このトピックのコメントにおいて，上記の問いに答えることを放棄され数学的理由には直接かかわらない話題を展開されてきたか，「×が＋より先にやる」という前提から「×が＋より先にやる理由」を説明されていたようでした…。
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