論理的思考(判断推理,数的処理)コミュの整数問題パート2(訂正)

S＝1+1/2+1/3+1/4+…+1/n
(n≧2)
Sは整数値を取りません。
証明せよ!!

※n→∞の時
　Sは単調増加･発散(数3)
※数学3の知識使わない
　解答方法あり。
　(算数くらい?)

コメント(9)

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Sn = 1+1/2+1/3+…+1/n　(n ≧ 2)と定義して、
n!Sn が n! で割り切れないことを示せば、本題の証明となる。

帰納法で証明。
[1] n=2 の時は n!Sn の値は 3 なので割り切れない。

[2] n=k の時 n!Sn が n! で割り切れないと仮定して、n=k+1 の時を調べる。
仮定から k!Sk = x (mod k!), 0 < x < k! となる x が存在

(k+1)!Sk+1
= (k+1)!Sk + k!
= (k+1)(k!Sk) + k!
= x + k! (mod (k+1)!)
< 2(k!)

(k+1)!Sk+1 が (k+1)! で割りきれるためには
x + k! が少なくとも 3(k!) より大きくなければならない。
( k≧2 より (k+1)! = (k+1)(k!) ≧ 3(k!) )
以上をもって n=k+1 の時も n!Sn が n! で割り切れない。

[1],[2]よりn!Sn が n! で割り切れないことを証明した。
よって本題も証明された。

[5] mixiユーザー 05月07日 00:16

> 圭ちゃんさん

美しい解答ですね。
尊敬します。

他の解方
n!の2の因数の個数
と
nまでに2の因数を最も多く持つ数は一つな事
を示して
Sn=(偶数+偶数+…+奇数+…偶数)/偶数なので
Snは整数とならない。
と証明することも出来ます。

[6] mixiユーザー 05月07日 00:24

一番オーソドックスなのは数学的帰納法を使う解法ですよね。
帰納法は数２でしたっけ？

ところで、2の因数の個数という表現が非常に気になるわたし…

[7] mixiユーザー 05月07日 00:27

【追記】

Sn^k=Σn→∞(1/n^k)
とすると

Sn^2=π^2/90
Sn^4=π^4/475
(※分母の数は違うかも)
と収束するそうです。
k=偶数の時
収束値が解っているそうですが
k=奇数の時
は収束するか発散するかすらも解っておらず
100年経っても解けないだろうとされる問題だそう。
(ﾘｰﾏﾝ予想とか7大予想より難解らしいです)

[9] mixiユーザー 05月07日 13:57

＞おむすび[ライドル]さん
＞２の因数の個数

ある数を素因数分解してやると (2^a)*(3^b)*…となりますが、
この時の a が２の因数の個数です。
しげるさんが挙げた解法は、
2^p <= n < 2^(p+1) を満たす最大の整数pに着目した解き方ですね。
帰納法は今では高２で習う範囲だと思います。

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