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コメント(30)
連投すいません。補足です。
2:3＝4:6＝……のような等号の関係は，比の値に直せば倍分，約分の概念に帰着されます。
数学では類似する性質から一般性のある概念を抽象することが大きな意味を持っているので，その観点でも「比の値」という概念を規定しておく価値は小さくないように思います。
ただ，繰り返しになりますがそれがa/bでもb/aでもどっちでもいいことは確かです。ただ，どちらか1つに決めておかなければ不具合が生じることも想像に難くないので，指導上は「エライ人（声の大きい人）が一応a/bだと宣言して決めている」くらいの温度で扱えばいいのかな，というのが私見です。どちらかに統一されていないと不便かもな，と生徒に伝わっていれば十分，という発想です。
2:3＝4:6＝……のような等号の関係は，比の値に直せば倍分，約分の概念に帰着されます。
数学では類似する性質から一般性のある概念を抽象することが大きな意味を持っているので，その観点でも「比の値」という概念を規定しておく価値は小さくないように思います。
ただ，繰り返しになりますがそれがa/bでもb/aでもどっちでもいいことは確かです。ただ，どちらか1つに決めておかなければ不具合が生じることも想像に難くないので，指導上は「エライ人（声の大きい人）が一応a/bだと宣言して決めている」くらいの温度で扱えばいいのかな，というのが私見です。どちらかに統一されていないと不便かもな，と生徒に伝わっていれば十分，という発想です。
なるほど，「『比の値』を教えるべきかどうか」という問題ですか。
生徒が必要としないなら，教えてはいけないものだと思います。ただ，「比の値」の概念に関していえば，生徒に必要だ，意味がある，と思わせなければ，授業者としては失敗だと思います。理由は[7]で述べたとおりです。
比の等価と分数の等価は同一視できるもの（同一視すべきもの）ですから，a:bという比について学習したとき，分数a/b（もちろんb/aでも可）と「似た性質がある」とか，もっと言えば「同じじゃん」という発言が子どもから出ないようでは，割合の本質にせまれていないわけで，比の指導，または分数の指導，割合の指導に何らかの問題があるはずです。ひいてはそれは，中学校での比例の指導にも影響します。
比と分数を関連付けるという発想が生徒から自然に出ないまま，「これが比の値だ，b/aだ。a/bだと×だぞ」と教え込むのは最悪ですね。そんな指導が行われているなら，すぐにやめるべきです。
それでも，小学校では残念な学習をしてくる小学生が少なからずいる前提で考えなければならないのが現実でしょうから，中1の比例・反比例の内容において，いかに軌道修正するかという部分ですね。自戒をこめて，数学教育に対して専門性を持つべき中学校教員の果たす役割は大きいと思います。
生徒が必要としないなら，教えてはいけないものだと思います。ただ，「比の値」の概念に関していえば，生徒に必要だ，意味がある，と思わせなければ，授業者としては失敗だと思います。理由は[7]で述べたとおりです。
比の等価と分数の等価は同一視できるもの（同一視すべきもの）ですから，a:bという比について学習したとき，分数a/b（もちろんb/aでも可）と「似た性質がある」とか，もっと言えば「同じじゃん」という発言が子どもから出ないようでは，割合の本質にせまれていないわけで，比の指導，または分数の指導，割合の指導に何らかの問題があるはずです。ひいてはそれは，中学校での比例の指導にも影響します。
比と分数を関連付けるという発想が生徒から自然に出ないまま，「これが比の値だ，b/aだ。a/bだと×だぞ」と教え込むのは最悪ですね。そんな指導が行われているなら，すぐにやめるべきです。
それでも，小学校では残念な学習をしてくる小学生が少なからずいる前提で考えなければならないのが現実でしょうから，中1の比例・反比例の内容において，いかに軌道修正するかという部分ですね。自戒をこめて，数学教育に対して専門性を持つべき中学校教員の果たす役割は大きいと思います。
英語が専攻の塾講師です
比で大事なことは
A:B が2:3なら、
AはBの3分の2倍になり
BはAの2分の3倍になること
これは大事、これは中学数学でも、高校数学でも使える考え方だし
理科でも使える
と、塾の数学の師匠に教わりました
その師匠は、相似や三平方も、
比を使って、なるべく、
12掛ける8分の5とか
12掛けるルート3分の2みたいにして出すように指導してました
話の通じない子だけ｢泣く泣く｣
12:Xイコール8:5 とやるように指導する、と言ってました
ワタシは出来る子だけ教えているわけではないので、８割がた、12:Xイコール8:5で教えてますが
自分で解く時はラクな方で数学も理科も解いています
アルバイトの学生さん達にも
A:B が2:3なら、AはBの3分の2倍って大事なの？
って聞いたら
医学部の学生さん達は、
それはムチャクチャ大事ですよ、高校の理科とかでもムチャクチャ使いますよ
と言ってて
あまり偏差値的に高くない大学の子達はピンと来ない感じでした
比で大事なことは
A:B が2:3なら、
AはBの3分の2倍になり
BはAの2分の3倍になること
これは大事、これは中学数学でも、高校数学でも使える考え方だし
理科でも使える
と、塾の数学の師匠に教わりました
その師匠は、相似や三平方も、
比を使って、なるべく、
12掛ける8分の5とか
12掛けるルート3分の2みたいにして出すように指導してました
話の通じない子だけ｢泣く泣く｣
12:Xイコール8:5 とやるように指導する、と言ってました
ワタシは出来る子だけ教えているわけではないので、８割がた、12:Xイコール8:5で教えてますが
自分で解く時はラクな方で数学も理科も解いています
アルバイトの学生さん達にも
A:B が2:3なら、AはBの3分の2倍って大事なの？
って聞いたら
医学部の学生さん達は、
それはムチャクチャ大事ですよ、高校の理科とかでもムチャクチャ使いますよ
と言ってて
あまり偏差値的に高くない大学の子達はピンと来ない感じでした
>>[13]
A:B が2:3なら、
AはBの3分の2倍になり
BはAの2分の3倍になること
これは非常に大事なこと、というか、比の概念を理解するというのはまさにこれを理解することだと思っています。
高校生に、３：６＝５：ａ のａを求めるように言うと、大抵、内項の積＝外項の積を使って解きます。
この場合、答えは出せるのですが、比の概念を理解していない可能性があります。なので次に、
１：２：３＝４：ａ：ｂ という問題を出します。これをすんなり答えられると、とりあえずＯＫとなります。
２：６＝４：１２ こういうときに、６は２の３倍で１２は４の３倍、４は２の２倍で１２は６の２倍、という２方向の倍関係が成り立つことを理解することこそが、比の理解の肝だと思っています。
これを理解していれば、内項の積＝外項の積というのは敢えて公式として意識しなくても、実質的に同じことを理解していることにもなります。
個人的には、内項の積＝外項の積は、比の理解から直感的に出てくるというよりは直感的に出てくる関係式を加工した感じがして、あまり好きではありません。
強いて利点を挙げれば、０が絡んでいても機械的に成り立つということぐらいです。
で、比の値の話に戻ると、
ア A:B が2:3なら、AはBの3分の2倍になり、BはAの2分の3倍になることを理解する。
イ ２：３の比の値は２/３と求められる。
アとイが同義ではないということです。アが出来ても、イを「３/２」と逆にしてしまうこともありえる。イが出来ても、アを理解していないこともありえる。
重要なのは、アであって、イではない。イが出来るように何度も演習問題をやってもアになるとは限らない。
つまり、イは、アが出来るかどうかの判断材料にもならないし、アが出来るための有効な手段でもない。
しかもイは、どっちが分母でどっちが分子かという必然性がないことを暗記しないとならない。
比の値を教えるのは時間の無駄だし子どもに不要な負担を強いることになるので、教えるべきではないと思っています。
A:B が2:3なら、
AはBの3分の2倍になり
BはAの2分の3倍になること
これは非常に大事なこと、というか、比の概念を理解するというのはまさにこれを理解することだと思っています。
高校生に、３：６＝５：ａ のａを求めるように言うと、大抵、内項の積＝外項の積を使って解きます。
この場合、答えは出せるのですが、比の概念を理解していない可能性があります。なので次に、
１：２：３＝４：ａ：ｂ という問題を出します。これをすんなり答えられると、とりあえずＯＫとなります。
２：６＝４：１２ こういうときに、６は２の３倍で１２は４の３倍、４は２の２倍で１２は６の２倍、という２方向の倍関係が成り立つことを理解することこそが、比の理解の肝だと思っています。
これを理解していれば、内項の積＝外項の積というのは敢えて公式として意識しなくても、実質的に同じことを理解していることにもなります。
個人的には、内項の積＝外項の積は、比の理解から直感的に出てくるというよりは直感的に出てくる関係式を加工した感じがして、あまり好きではありません。
強いて利点を挙げれば、０が絡んでいても機械的に成り立つということぐらいです。
で、比の値の話に戻ると、
ア A:B が2:3なら、AはBの3分の2倍になり、BはAの2分の3倍になることを理解する。
イ ２：３の比の値は２/３と求められる。
アとイが同義ではないということです。アが出来ても、イを「３/２」と逆にしてしまうこともありえる。イが出来ても、アを理解していないこともありえる。
重要なのは、アであって、イではない。イが出来るように何度も演習問題をやってもアになるとは限らない。
つまり、イは、アが出来るかどうかの判断材料にもならないし、アが出来るための有効な手段でもない。
しかもイは、どっちが分母でどっちが分子かという必然性がないことを暗記しないとならない。
比の値を教えるのは時間の無駄だし子どもに不要な負担を強いることになるので、教えるべきではないと思っています。
>>[15]
＞「これが比の値だ，b/aだ。a/bだと×だぞ」
＞あ，すいません。正しくは，「これが比の値だ，a/bだ。b/aだと×だぞ」ですね。分子と分母の順番は割合の理解上本当にどうでもいいので，素で間違えてしまいました。
わたしもまさに比の値について議論している最中に、素で間違えました。
https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/534292051035029504
数学を教えることを生業にしている人もたまには間違える。しかし、これはとくに間違えやすいんじゃないかな？ａ/ｂかｂ/ａかなんて必然性はないわけだし。
それを子どもに教える、しかも教えたところで比の理解そのものにはあまり役立たない、というのなら
教えるのをやめたほうがいいと思います。
＞「これが比の値だ，b/aだ。a/bだと×だぞ」
＞あ，すいません。正しくは，「これが比の値だ，a/bだ。b/aだと×だぞ」ですね。分子と分母の順番は割合の理解上本当にどうでもいいので，素で間違えてしまいました。
わたしもまさに比の値について議論している最中に、素で間違えました。
https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/534292051035029504
数学を教えることを生業にしている人もたまには間違える。しかし、これはとくに間違えやすいんじゃないかな？ａ/ｂかｂ/ａかなんて必然性はないわけだし。
それを子どもに教える、しかも教えたところで比の理解そのものにはあまり役立たない、というのなら
教えるのをやめたほうがいいと思います。
まずは、比の値を教えることにしている現行の学習指導要領を作った奴に「意味あんのか」と小一時間問い詰めたい。
さて、
a:b=c:dならばbc=adを示すとき、
まず、a:b=c:dより、
b/a=d/cってやるのは、だからそもそもソレなんでできんだよ？ってツッコミが入り、
a/c=b/dってやるのも、だからそもそもソレなんでできんだよ？ってツッコミが入り、
c/a=d/bってやるのも、だからそもそもソレなんでできんだよ？ってツッコミが入る。
ということになるけど、
a/b=c/dってやるのは「比の値が定義されているからOK」ってツッコミが入らないことになるんじゃないでしょ〜か・・・。
だから比の値ってのがあるんじゃないでしょうか？
違いますかね？
私も積分定数さんと同じく、比の値を教えることに何の意味があるのか疑問です。無理矢理理由つけるとしたら、これくらいしか思いつきません。これどうでしょうか？
さて、
a:b=c:dならばbc=adを示すとき、
まず、a:b=c:dより、
b/a=d/cってやるのは、だからそもそもソレなんでできんだよ？ってツッコミが入り、
a/c=b/dってやるのも、だからそもそもソレなんでできんだよ？ってツッコミが入り、
c/a=d/bってやるのも、だからそもそもソレなんでできんだよ？ってツッコミが入る。
ということになるけど、
a/b=c/dってやるのは「比の値が定義されているからOK」ってツッコミが入らないことになるんじゃないでしょ〜か・・・。
だから比の値ってのがあるんじゃないでしょうか？
違いますかね？
私も積分定数さんと同じく、比の値を教えることに何の意味があるのか疑問です。無理矢理理由つけるとしたら、これくらいしか思いつきません。これどうでしょうか？
仰ってるのはわかります。私もそう思うんですよ。
ところが、比を初めて学習する中学校の教科書を調べてみたんですが、
証明にn倍したものとかｂ倍、ｃ倍したのを使っていないんですよね。不思議なことに。疑問です。
じゃあどうやって証明すんだよ？って思いますよね？
a:b=c:dから比の値
a/b=c/dとして（←これが問題だと思うけど。わけわからん。）（そもそもbとｄってゼロのときどうすんのとか色々）
両辺bd倍して
ad=bcと証明してんです。もう馬鹿かと。ｎ倍とかｂ倍とかｃ倍とかつかえよと。
つまり、比の値を定義するのは循環論法を防ぐためってのが【あえて無理矢理】理由をつけるならこうかなと。
ここで、比の値を定義しておかないと、
a:b=c:dから
a/b=c/d
という【明らかでない変形】を無理矢理明らかとするための口実じゃないですかね？
（※もちろん、比の値を定義したところで、明らかになるわけないんですが。）
言ってしまえば、中学生向けの【ごまかし】。
中学生にはｂ倍とかｃ倍とかつかっちゃいけない って決まりがあるんじゃないでしょうか？
推測ですが。
学習指導要領ってのがあって、中学生には教えることをここまでにとどめる、みたいな記述があるんじゃないですかね。ｎ倍つかっちゃいかんとか。
推測ですが。
違うかな・・・？
ところが、比を初めて学習する中学校の教科書を調べてみたんですが、
証明にn倍したものとかｂ倍、ｃ倍したのを使っていないんですよね。不思議なことに。疑問です。
じゃあどうやって証明すんだよ？って思いますよね？
a:b=c:dから比の値
a/b=c/dとして（←これが問題だと思うけど。わけわからん。）（そもそもbとｄってゼロのときどうすんのとか色々）
両辺bd倍して
ad=bcと証明してんです。もう馬鹿かと。ｎ倍とかｂ倍とかｃ倍とかつかえよと。
つまり、比の値を定義するのは循環論法を防ぐためってのが【あえて無理矢理】理由をつけるならこうかなと。
ここで、比の値を定義しておかないと、
a:b=c:dから
a/b=c/d
という【明らかでない変形】を無理矢理明らかとするための口実じゃないですかね？
（※もちろん、比の値を定義したところで、明らかになるわけないんですが。）
言ってしまえば、中学生向けの【ごまかし】。
中学生にはｂ倍とかｃ倍とかつかっちゃいけない って決まりがあるんじゃないでしょうか？
推測ですが。
学習指導要領ってのがあって、中学生には教えることをここまでにとどめる、みたいな記述があるんじゃないですかね。ｎ倍つかっちゃいかんとか。
推測ですが。
違うかな・・・？
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