[mixi]極座標による求積 - 数学科　教師　講師

[45] mixiユーザー 02月17日 03:59

極座標の(r,θ)って
距離r…原点Oからの距離
偏角θ…原点Oを端点とする半直線OXからCCWで半直線OPまで測る角

ですよねえ。「式で説明」云々の話ではないように思うんですけどねぇ…

後は、nπとか(2n±1)π/2とか、ちょっと特殊な角だけで確認せず、せめてπ/6とかπ/4とかπ/3とかでも確認しようよ…というあたりですよねえ（こっちも、図を描きゃそんな面倒な確認の必要ないけど）

[46] mixiユーザー 02月17日 05:55

シンプレクティツクさん

もし貴方が数学教育に携わっているのでしたら、ソクラテスメソッドについて、
一度調べてみることをお勧めします。
ウィキペディアにはないようですが、Google検索すれば、それなりの説明に辿り着くようです。

物事を相手に理解させる際に、正しい考え方を説明するのではなく、
相手との対話を通して、相手自身に自分の考えの誤りを理解させる、
ということを理想とする教え方です。

恐らく数学教育に携わる人はソクラテスメソッドという言葉は知らなくても、
「相手に誤りに気付いて貰うにはどのようなヒントを与えたら良いか？」
を常に考えていると思います。
数学者の集まりでは研究だけでなく、教育も話題になるのですが、
このような教育法は数学界に脈々と流れている文化だと感じますし、
このコミュニティでもそれを感じます。

その意味では、このトピックでは見事なソクラテスメソッドの見事な実践がなされたと言えるでしょう。

シンプレクティツクさんは、大学で数学を学んだということですが、
数学の内容について学ぶだけでなく、このような文化も身に付けて卒業して頂きたかったですね。数学教育に携わる者として残念です。

[48] mixiユーザー 02月17日 13:47

私はトピ主の炎のNissyさんがご納得されればそれで良いです。
トピ主さんは、「> 36」の解答でご納得されましたでしょうか？

「> 36」のご訂正します。
「誤」
= 24・∫ [0 → π/2]　(sinθ^2)dθ　（積分区間を符号で変更）
「正」
= 24・∫ [0 → π/2]　(sinθ)^2dθ　（積分区間を符号で変更）

[50] mixiユーザー 02月17日 14:34

質問者の分からない部分は、質問者自身しか分かりません。

返事をする場合は、２つの方法があると思います。
１．ポイントになる部分のみを示す方法
２．全部の解説をする方法

質問者にポイントを示して、２日過ぎても納得していないご様子でしたので。
私は、「> 36」より全部の解説をしました。

ポイントは、「> 3」のりーさーさん、「> 6」「> 7」「> 9」の河合佑介さんが示されています。
おそらく、「> 36」の全部の解説をして、ご批判がない様子なので、模範解答になっていると思います。

私は、りーさーさん、河合佑介さんは、質問者への誠実な返事をしていると思います。

これを書いている間に「> 49」の河合佑介さんから返事がありました。

[51] mixiユーザー 02月17日 15:08

>>[43]
> どうも、極座標で積分する動機がいまいち理解出来ません…

トピ主は、次のように書かれています。
> つい先日、大学の入試問題をといていたときに極座標による求積の手法があることを知りました。
> 微小区間を扇形で近似して求めるというものでした。
> 公式が1/2?r^2dθというものでした。

１.媒介変数を消去して楕円の方程式から積分する方法
２.媒介変数のまま置換積分によってもとめる方法
３．極座標に変換して求める方法

１．２．３．のいずれでも、計算が簡単、面倒は関係なく、答えが合わないといけないので、３．の計算を知りたいと思いました。
微積学では、極座標の積分の考え方は、必要だと思いますが、本問では計算が面倒なだけなので、普通はしないと思います。

大学を中退していますけど、家庭教師で中学生に指導しています。
ときどき、計算が簡単、面倒な問題が出題されることがあります。

平成20年の茨城県の県立の問題です。
問題：x = √3 + 1 のとき、x^2 - 2x + 1 の値を求めよ。
＜解法１＞
(√3 + 1)^2 - 2(√3 + 1) + 1
= 3 + 2√3 + 1 - 2√3 - 2 + 1
= 3
＜解法２＞
x^2 - 2x + 1
= (x - 1)^2
= {(√3 + 1) - 1}^2
= (√3)^2
= 3
＜解法３＞
x = √3 + 1
⇔ x - 1 = √3
⇔ (x - 1)^2 = 3
⇔ x^2 - 2x + 1 = 3
⇔ x^2 = 2x + 2
より
x^2 - 2x + 1
= (2x + 2) - 2x + 1
= 3

＜解法１＞は、x に値をそのまま代入した場合です。
＜解法２＞は、与式を因数分解した場合です。
＜解法３＞は、中学生ではあまり関係ないですが、高校の数学での次数下げに使われる方法です。

家庭教師で個別に教えているので、３パターンの解法は、一応は説明をします。
教師も、生徒も、３パターンの内で、どれが計算が簡単で、面倒なのかを確認することは、お互いに確認し合うことは良いことだと思います。
この問題は、＜解法２＞が一般的な解法だと思います。

本問も、教える側がどれだけ計算が面倒なのかを知っておくことは、大切な事だと思います。

[52] mixiユーザー 02月17日 15:23

>>[38]

幾何学がご専門だと思います。
シンプレクティツクさんは、相手に対して印象が悪い発言をしていると思います。
あまり、そういうご発言は控えた方が良いと思います。

数学は、「定義」と「定理」の理論の積み重ねだと思います。

また、本問の「極座標」に関しては、大学１年の微積学の知識で解ける内容です。
そういう意味では、理工系であれば、常識的な問題なので、仮に知らなかったとしても、自力で解答を見つけることは、容易だと、一般的には思います。

私には、なぜ、シンプレクティツクさんが勘違いをしたのかは分かりません。
でも、自力で解答を見つけて欲しかったと思います。

[53] mixiユーザー 02月17日 15:45

>>[49]
> 厳しいことを言えば，トピ主さんは高校の教員なわけで，極座標については高校の履修範囲です。
> 納得以前にこの状況で高校生に指導するのはどうかなぁと思っています。

「極座標」は、現行の数学Cの「２次曲線」のときに、学ぶ内容ですよね。
※私の時は、代数・幾何学の２次曲線でしたけど。

また、「極座標の積分」は、大学１年の微積学ですよね。
※広義積分、arctan(x) も、大学１年の微積学ですよね。

河合さんがおっしゃる通り、トピ主がなぜ、極座標をきちんと理解していないかは、疑問が残ります。

トピ主にも、色々とご事情があるかもしれないので、トピ主を悪く言うつもりもありません。
私や河合さんだけでなく、正しく理解した上で教壇に立って欲しいと思うことには、誰もが思うことだと思います。

間違った理解であれば、正しく理解するように努めて欲しいと思います。

[54] mixiユーザー 02月18日 01:16

>>[51]

>本問も、教える側がどれだけ計算が面倒なのかを知っておくことは、大切な事だと思います。

仰ることは理解できるのですが、今回の場合は「新しい手法」としての位置づけで、TRYされたのだと思うのですよ。「どれだけ面倒か」を確かめるのではなく、「どれだけ有効な手法であるか」を確かめようとしたんじゃないか、と。

私自身は数学が専門ではありませんし、自分が知らないor知ってても有効に使えない解法というのは幾つもあります。ですから余計に意識するのですが、「自分がよく理解していない」とか「自分が使いこなせない」とか「その解法がどんな時に有効か、具体的に示せない」というようなものを教えるのは、百害あって一利なしだと考えます。

そうした点では、今回の場合「使う問題と適用する解法のセットがおかしい」という気がしてならんのです。
それならまず、「極座標で積分する、という解法が有効な問題は何だ？」という疑問が咲じゃないかと。

まあ、そこを突っ込む前に「極座標を理解していない人が、幾人も居た」という笑えない落ちになったというのは予想外でしたが…
正直、私も「このレベルの間違いをするのであれば、高校生相手でも、理系進学者相手に数学を指導するのは慎重に考えたほうが良い」という気がします。

[55] mixiユーザー 02月18日 02:30

問題は解決しました。

揚げ足取り専門の方々には格好のネタだったように思います。

トピックの主の間違えはどこにあったのかもはっきりわかりました。

θと偏角が異なること、これらは図形をイメージする人には混同しやすいこと。

根本的に理解していないとか言う前に、数式で　偏角θ´＝　arctan x/y ですよ、

それは　途中でθと等しくなりますよ、勘違いではないですか、

と数式で説明してあげれば解決した問題です。

しかし数式により、かつ明確に指摘出来た人は私以外に一人もいませんでした。

おそらくろくにゼミをしてこなかった人達でしょう。

黒板の上では皆平等であり、数式で会話するのが数学です。

ゼミではそれを叩きこまれました。

大数学者でも勘違いはあります。

座標の根本的な理解をしている人でも間違います。

私の指導教官だってよく勘違いをしました。

あれはイメージを先行させていたり、逆に記号の意味を先走りさせたりするとそうなります。

しかし勘違いは勘違いであって、鬼の首をとったかのように言うのは

数学を好きで無い証拠です。

変な欲求不満を解消したい輩に付き合うのも仕方ありませんが、

多様体くらいは勉強して来いと言いたいです。

数学の論争ならば受けて立ちます。

大学入試レベルで小児麻痺的に精神が停滞している方に

カツをお見舞いしてあげましょう。

舐めた事をいったやつには徹底的に食い下がります。

サシで徹底的に糾弾する積もりです。

大学の初年級のカリキュラムに含まれている事をきちんと理解することは

難しいですよ。　私は大学院を卒業してから杉浦光夫の解析入門を本当の意味で

少しずつですが理解しています。　アイデアの形に抽象化し直し、そのアイデアに沿って

計算をする。　佐武一郎の線型代数も未だに読みきれません。

多様体の概念とは単純に何なのか、そこにあるのは解析、線型代数、代数学の概念の

言い換えである。　座標とは何か、アフィン空間とは何か、ユークリッド空間とは何か、

どういう思考モデルなのか。（参照：　幾何学入門　村上信吾）

リー群の存在意義は何か、微分方程式とは何か、物理とどう関係があるのか。

そういうことを考えることは、大学の先生ですら、わかったふりをしながら必死で勉強している

と思います。　私の指導教官はリー環論では世界的な業績を残した方ですが、

高木貞治の解析概論ですら簡単によめるものではないといっていました。

全てを理解するのは数学者でも10年位は掛かるのではないでしょうか。

[56] mixiユーザー 02月18日 02:49

河合祐介さんの>>[9]

>さらに，この楕円を極座標であえて表すならば
>x^2/3^2+y^2/2^2=1にx=rcosθ，y=rsinθを代入することにより，rをθであらわすことになります。

って、この上なく明確でシンプルな指摘だと思うのですけれど、価値観は人それぞれですね。面白いもんだ。
でも、この間違いって、「図形をイメージ出来ないこと」が間違いの理由なんじゃないかなあ。

[57] mixiユーザー 02月18日 04:06

>>[56]
バカタレがまた参戦してきました。

わかりにくいだろ。

お前はそれで理解したのか。

今後はまたメッセージで応戦します。

自分では数式は展開出来ないおバカさん。

[58] mixiユーザー 02月18日 07:37

>>[054]

主さんは他の問題で極座標での積分を知り、その便利さを知った上で「便利だからこれにも使ってみたらダメだった、なんでだろう」と感じてトピックを作成されたのだと思いました。

「有効な問題は何か」の前段階で、有効でない(高校では使うことの出来ない)問題もあるということをここで知ったのではないでしょうか。

大学での四年間ないし院生も含めた六年間だけで教員をやっていくための知識をすべて学ぶのは不可能だと思いますし、常に自己研鑽の必要な職業だと思います。

これで教員生活10年目とかであれば大問題でしょうが、模解通りに解くだけでなく色々やってみるという姿勢はとても良いものだと個人的には感じるのですがいかがでしょう。

まぁ、本音を言えば自分で考えて偏角がθでないことには気づいてもらいたいところですが

[61] mixiユーザー 02月18日 09:11

>>[54]
> 今回の場合は「新しい手法」としての位置づけで、TRYされたのだと思うのですよ。
> 「どれだけ面倒か」を確かめるのではなく、「どれだけ有効な手法であるか」を確かめようとしたんじゃないか、と。
「新しい手法」としてTRYされたと思いますよ。　私も同感です。
「どれだけ有効な手法であるか」を、さらに具体的に言えば、「> 36」の計算結果より極座標の計算は面倒な計算だった。
だから結果論として、高校向きの解説にはならないということです。

>「自分がよく理解していない」とか「自分が使いこなせない」とか「その解法がどんな時に有効か、具体的に示せない」
> というようなものを教えるのは、百害あって一利なしだと考えます。
教える側が理解していない状態で教えるのは、そこがそもそも問題なので、理解してから教えるのは常識だと思います。
つまり、本問で言えば極座標の積分を理解していなくて、学生に教えるのは百害あって一利なしだと思いますよ。

> そうした点では、今回の場合「使う問題と適用する解法のセットがおかしい」という気がしてならんのです。
> それならまず、「極座標で積分する、という解法が有効な問題は何だ？」という疑問が咲じゃないかと。
ポイントだけ言えば、大学の微積学の教科書に、極座標の積分の問題があります。
それをご覧になれば、有効な場合もあります。
ただ本問は、結果論として楕円の極座標は、大学の１年生で微積学を履修している学生に、考えさせるには有効かなと思います。
だけど、高校生には不向きだと思いますので、説明しない方がいいと思います。

[62] mixiユーザー 02月18日 09:37

>>[55]
> 根本的に理解していないとか言う前に、数式で　偏角θ´＝　arctan x/y ですよ、
> それは　途中でθと等しくなりますよ、勘違いではないですか、
> と数式で説明してあげれば解決した問題です。

もしかして、「偏角θ´＝　arctan x/y」は、「偏角θ´＝　arctan y/x」で分数の分母、分子は逆ではないですか？

極座標 (r, θ'）と直交座標(x, y)の関係は、
x = rcosθ'、y = rsinθ'、「tanθ' = y/x ⇔ θ' = arctan(y/x)」

問本の x = 3cosθ、y = 2sinθ では、
θ' = arctan {(2sinθ)/(3cosθ)} = arctan{(2/3)・tanθ} より偏角が異なると解説をすれば良かったようですね。

> 大学の初年級のカリキュラムに含まれている事をきちんと理解することは難しいですよ。
> 私は大学院を卒業してから杉浦光夫の解析入門を本当の意味で少しずつですが理解しています。
> アイデアの形に抽象化し直し、そのアイデアに沿って計算をする。
> 佐武一郎の線型代数も未だに読みきれません。
> 多様体の概念とは単純に何なのか、そこにあるのは解析、線型代数、代数学の概念の言い換えである。
> 座標とは何か、アフィン空間とは何か、ユークリッド空間とは何か、どういう思考モデルなのか。
> リー群の存在意義は何か、微分方程式とは何か、物理とどう関係があるのか。

大学の初年級と言われて、私が管理している数学のコミュニティ（少し宣伝です）の方の言葉を思い出しました。
大学院の方で、あるゼミで本当の意味で線形代数学を理解している方は、どれくらいいるのだろうということを、仰っていました。

私の推測ですが、それぞれの専門で線形代数学を使う場面において、線形代数学の奥深さがあるようですね。
その奥深さを理解するのは、とても大変な作業なのかもしれません。

そう考えるとシンプレクティツクさんは、逆に色々と知識を持ち合わせているので、使い分けが難しいのかもしれませんね。

[63] mixiユーザー 02月18日 09:44

>>[57]
> バカタレがまた参戦してきました。
> わかりにくいだろ。
> お前はそれで理解したのか。

相手に対して印象が悪い発言をしていると思います。
あまり、そういうご発言は控えた方が良いと思います。

そういう発言をすると、シンプレクティツクさんの数学の品位が薄れますよ。

[64] mixiユーザー 02月18日 13:37

>>[58]

仰ることも理解できます。炎のNissyさんも（この流れでは発言しにくいかもしれませんが、出来れば一言くらいはリアクションがあって然るべき、とは思いますが）、これにめげずに研鑽を積んでいってほしいなあと思います。

>大学での四年間ないし院生も含めた六年間だけで教員をやっていくための知識をすべて学ぶのは不可能だと思いますし、常に自己研鑽の必要な職業だと思います。

ここも全く同意です。それゆえ、やはり高校の学習内容くらいは、学生の間にしっかり復習すればマスターできたんじゃないの？とも思うのですよねぇ。

>これで教員生活10年目とかであれば大問題でしょうが、模解通りに解くだけでなく色々やってみるという姿勢はとても良いものだと個人的には感じるのですがいかがでしょう。
姿勢については仰るとおりですが、それであれば「これこれこういうように考えたが…」という形での提示があっても良かったんじゃないか、と。

>まぁ、本音を言えば自分で考えて偏角がθでないことには気づいてもらいたいところですが

と仰る部分と合わせ、どうしても最近の生徒の学習姿勢とダブるところがありまして、それ故辛口になっている部分もあるのかなあ、と。

>>[59] 河合祐介さん

正直、私も三角関数については「得意」とはとても言えない状況なので冷汗三斗ですが、広く理系、自然科学系に進学する者にとって、三角関数が重要な技術であることには全く同意です。

ただ、それにも増して、博前まで進んだ人が、「解りやすく教えてくれないからいけないんだ！」と逆ギレするほうがより「イタい」ように、個人的には感じました。大学教員の友人たちから色々聞いていましたが、目の当たりにする衝撃は、またちょっと別ですね。

自分の時は、学部の初回の授業で「これからは『人に教えてもらおう』などという甘っちょろい考えは捨てろ」と言われたし、誰もそれに文句を言わなかったものでしたが…

>>[61] LogicalInSpaceさん

>「どれだけ有効な手法であるか」を、さらに具体的に言えば、「> 36」の計算結果より極座標の計算は面倒な計算だった。
>だから結果論として、高校向きの解説にはならないということです。

仰ること自体にも、>>[36]の計算結果にも異論はありませんが、惜しむらくは「それは、本来自分で模索して気づくべきところ」だったんじゃないかなあ、と。

>だけど、高校生には不向きだと思いますので、説明しない方がいいと思います。

ですね。もっと申せば「指導者の力量に依る」というところでしょうか。

[65] mixiユーザー 02月18日 13:48

>>[63]
控えていても、卑怯者を見るとつい、コノヤローと叫ばずにはおれません。

それに標的になりそうな相手を見つけたら、自分の真意を隠してリンチ的に攻撃

しようという精神がムカつきます。　そしてその背後には数学愛ではなく、

自分の日常生活の憂さ晴しを感じます。

自分で発言せず、権力のありそうなところに擦り寄る精神。

そんな腰抜けに難しい数学が理解出来るわけがありません。

私にはしっかりと修行した経験があります。

そこで見聞きしたもの、体得したものに自信があります。

数式や概念をわかりやすく説明することは難しい事です。

大学の先生はわかりやすい説明をしてくれません。

数学者はコーチでなく、選手なのです。

数学の理解を共有しようというのが私の考えです。

そして共有しうるまでに深く単純に展開するというのが目的です。

たいして数学を学んでないやつが、レベルが低いと揶揄するばかりで、

自分のアイデアを丁寧に説明しようとしない。

逆に数式で会話すればレベルの違う相手とも平等に会話できます。

それが正しい交流です。

[66] mixiユーザー 02月18日 19:36

>>[064]

色々考えてみたのですが、やはり姿勢が一番大事なのでしょうね。

一つの問題に様々なアプローチをする姿勢も、今回のように理解を深めることが出来るでしょうし、わからない問題にぶつかったときにどの様な考えどの様に行動するかもそうだと思います。

教員が数学に対して望ましい姿勢を持ち、自分で考える生徒を作らねばならないのでしょうね。

[67] mixiユーザー 02月18日 20:16

>>[60]

あなたの教え子は本当に理解しているのではなくて、

あなたと同様に、答えの出し方を理解しているのではないですか。

自分でうまく説明できないことというのは、概念として理解しているのではなく、

マニュアルを理解しているのです。

極座標とは何かご存知ですか、などという暇があったら数式で説明すれば済む事です。

一つの数式を提示し、その数式についての解釈を共有することが数学の教育ではないかとおもいますが、

あなたは異なる考えをお持ちのようですね。

試験問題さえ解ければそれで良い、それがあなたの思想ではないですか。

そういう思想を叩きこまれた生徒は、将来あなたのように居丈高に

こんなものは常識だ、と教える先生もしくは思想を持つ人間に育つことと思います。

数学の精神をお忘れでしたら、もう一度専門の数学書を引っ張り出してみて、

ご自分の数学観を再考されてみてはいかがですか。

素早く解く、という強迫観念に未だにとらわれてはいませんか。

もしくは入試問題という範疇でのみ数学を捉えていらっしゃるのですか。

わたしは数式の解釈を共有しようという精神で、いろんな人と会話したいと思います。

正直であれば誰にでも数学はできますし、高度ではなく普通の思考で数学はできると信じています。

[68] mixiユーザー 02月18日 20:39

極座標とは何か。　一言で言えば円と結びつけることである。

円と結びつける意味は何か。　原始関数を獲得する為の知恵であり工夫である。

ただしこの方法では楕円の求積にいたらない。

他に極座標を用いるのにどのような意味があるのか、

微分幾何学的意味はどういう式であらわされるのか。

リーマン計量とシンプレクテック計量の関係性を与えるのに役立つことは知られているようだが

理解が難しい。　もっと基本的な意味や意義はなんであろうか。

[69] mixiユーザー 02月18日 23:36

>>[66]

>色々考えてみたのですが、やはり姿勢が一番大事なのでしょうね。

仰るとおりかと思います。教える側、教わる側、およそ「学ぶ」者は全てそうなんだろうと思います。

>教員が数学に対して望ましい姿勢を持ち、自分で考える生徒を作らねばならないのでしょうね。

私は数学が専門というわけでないので、そこは「学問」としていただきたいですｗ

要は、予測される将来において、生徒たちに何が必要か、それを実現するためにはどうすれば良いかを考えれば、自ずと自分がすべきことが見えてくるんじゃないかと。
その手段として教科学習があるわけで、大事なのは「教科そのもの」ではないと思うのです。

「自分は何がしたいのか」ではなく、「自分は何を為すべきなのか」を、常に考えたいと思っています。

[72] mixiユーザー 02月19日 00:14

ずーっとこの流れを見ていて思ったのが

単に解けたらいいと思うのですが。

ここで数学云々には、興味がないので数式の話は一切取り合いません。

手際良くマニュアル通り、大いに結構だと思います。
あくまでも教育、という立場に立って考えますと、たった3年で数学を深くまで理解するのは無理ですよね？だったら手際良くマニュアル通り理解できた方が社会に出てから役に立ちますよね。
数学は奥深く素晴らしいものだから低俗な思想で踏みにじるな、という考えは数学者としては素晴らしいですが、数学教育に携わる者としては唾棄すべき態度だと思います。そういう考えがこれから数学を深くまで学ぼうとする若き有望な数学者の卵の妨げになっていることに気付かないのだろうか？

あとは、数学云々以前に、不特定多数が見る場でのマナー知らない人が数式数式と宣うのは、数学者全体の品位を下げるのでお控えいただきたいです。

[73] mixiユーザー 02月19日 09:38

独りで禅問答してますな

[74] mixiユーザー 02月19日 10:00

問題 x = 3cosθ、y = 2sinθ の面積を求めよ。

＜別解＞
注意：「媒介変数 θ」と「偏角α」の両方を使うことに注意してください。

極座標 (r, α) とすると
r^2 = x^2 + y^2, tanα = y/x

公式１：S = (1/2)・∫ [a → b] r^2dα
公式２：1 + (tanθ)^2 = 1/(cosθ)^2

r^2 = x^2 + y^2
= (3cosθ)^2 + (2sinθ)^2
= 9(cosθ)^2 + 4(sinθ)^2
= 5(cosθ)^2 + 4

tanα = y/x
= (2sinθ)/(3cosθ)
= (2/3)・tanθ

tanα = (2/3)・tanθ より微分をすると
{1/(cosα)^2}dα = (2/3)・{1/(cosθ)^2}dθ
dα = (2/3)・{(cosα)^2/(cosθ)^2}dθ
= (2/3)・(1/[{1 + (tanα)^2}・(cosθ)^2])dθ

分母 = {1 + (tanα)^2}・(cosθ)^2
= [1 + {(2/3)・tanθ}^2]・(cosθ)^2
= [1 + (4/9)・{1/(cosθ)^2 - 1}]・(cosθ)^2
= [(5/9) + (4/9)・{1/(cosθ)^2}]・(cosθ)^2
= (5/9)・(cosθ)^2 + (4/9)

dα = (2/3)・[9/{5(cosθ)^2 + 4}]dθ
= [6/{5(cosθ)^2 + 4}]dθ

楕円なので区間[0 → π/2] の４倍すると
S = 4・(1/2)・∫[0 → π/2] r^2dα
= 2・∫[0 → π/2] {5(cosθ)^2 + 4}・[6/{5(cosθ)^2 + 4}]dθ
= 2・6 ∫[0 → π/2] dθ
= 12 [θ] [0 → π/2]
= 12・π/2
= 6π ... Ans

この解法だと、「> 55」のシンプレクティツクさんの「数式で　偏角θ´＝　arctan x/y」とつじつまが合います。
「tanα = (2/3)・tanθ より微分をする」は、高校や大学の教科書に出てこない使い方ですね。
理論的に考えて、間違いではないので、数学的な考え方の１つかと思いますけど。

>> 「> 7」の河合さん
>> 今回はx= rcosθ、y =rsinθではないので、rが間違っているということです。極座標にしたときの偏角はθではありません

>> 「> 8」シンプレクティツクさん
>> r　は　θの関数　r(θ)　なのであり、　
>> x= r(θ)cosθ、y =　r(θ)sinθ、　r(θ)＝　√（　13/2 + (5/2)cos2θ　）
>> として公式を適用する。
>> レムニスケートではこの方法でうまくいきます。
>> どうでしょう。

この上記の解法をみてから、お２人のやり取りをみると、確かに、r(θ)＝　√（　13/2 + (5/2)cos2θ　）としても計算が出来ますね。
※上記では、r(θ) = √{5(cosθ)^2 + 4} （式変形すれば同じです。）

私の「> 36」の解法は、高校や大学の教科書に忠実な解き方だと思います。
この別解は、教科書に忠実ではないけど、理論的に考えて得られる解法だと思います。

河合さんとシンプレクティツクさんは、この解法の違いで意見が異なっていたと思います。
河合さんもシンプレクティツクさんも、間違ったことは言っていないと思いますよ。
解き方のアプローチが異なっていたように、思えますけど。

やはり人の話を良く聞かないといけないと思います。
自由に理論を展開して、問題を解く発想をシンプレクティツクさんは、言いたいと思うけど。
「> 36」と「この別解」より、少しづつ極座標をより深く理解が出来るのではないのでしょうか？

「別解」を示さないと納得が出来ないのであれば、やはり数式で表さないとお互いに理解が出来ないのではないのでしょうか？

[76] mixiユーザー 02月19日 15:34

>>[70]
てめえは文句は言えるが説明は出来ないようだな。

[77] mixiユーザー 02月19日 15:40

>>[72]
集団の影からこそこそ、こそこそ、気持ち悪い。
単に解けたらいいと思う者は、暗記するしか能の無い人間です。
あなたがそういう人間であることはよくわかりました。
精神の根底には自己愛のみがあるようですね。

[80] mixiユーザー 02月19日 18:48

お金をもらっているわけでもないのだから、ちゃんと数学を勉強してきた人ならすぐにわかる間違いに対して説明しろだの言うのはいかがなものかと思いますね。

コミュニティの特性から高校を卒業した人が読むことを考えるなら、極座標の基本的な理解に関わる今回の話題はクリティカルな一言でいいんじゃないでしょうか？

お金をもらっていたり、高校生のコミュニティ参加者を前提とするなら丁寧な説明も必要かと思いますが、自分は考えさせたいと思います。

[81] mixiユーザー 02月19日 19:45

余談ですが、

「解けたらいい」→「暗記」って、どんだけ効率悪い学習方法なんでしょか。

というか、教科を問わず暗記でどうにかなるって、正直、（言葉は悪いですが）三流大学の入試にしか通用しない方法論じゃないですかねえ。

[82] mixiユーザー 02月19日 22:13

そもそも、趣味で数学をやってる人とか大学の数学科で研究している人とか、そういう人以外の人にとっては、数学なんざ問題解決のための道具の１つでしかないと思うんですけどね。

そういう場面では、厳密な数式なんかより、適用範囲は限定されてでも絵とかイメージで説明できるものであることの方が重要なことも多いです。

それに、厳密解などどうでもよくて、実用上あまり支障がない精度での近似値が求められれば手段は問わない（なるべく簡易な方法であれば厳密さは二の次で良い）、という場面も多いですし。

今回のも、もし「このθは偏角じゃないよ」の一言だけではわからない人がいたら、くの字形の線とその中の角を絵で描いてｒとθを書き込むとかすればいい。

それでもわからなければ、その絵に線を増やしてＸＹ直交座標平面に落とし込んで、「θが偏角であるならば、ｘとｙをｒとθ表示したときにｒが共通である必要があるが、今回は２と３が共通じゃないから今回の問題文中にあるθというパラメータは偏角ではない」というのを直接見せればいい。

それでもまだ納得しなければ、補助円を描くなりして今回のθがどこの角なのかを見せて、偏角との違いを示してあげればいい。

数式なんかこねくり回すより、よほど伝わりやすいと思いますけどね。

数学的な厳密さなんてのは、その先に行きたい人が趣味的にやればいい。

少なくとも自分がこれまで出会った様々な分野、様々な学歴の人たちで、絵より数式の方が理解しやすいと言った人は１０人に１人もいませんでしたし、逆に、数式では全然わからなかったものを絵にされたら当たり前なことだった、という反応も多々見てきたから、数式を前面に出し過ぎるのは、大多数の人を相手にしたときにコミュニケーションを取ろうという気がないのかな？とすら思ったりもします。

図示すれば明らかな話でも、「煙に巻くために」意図的に数式表示することもあるくらいですしｗ

数式にすればみんなと共通の話ができる、話をするためには数式が大事、なんて思っているのは「スーガク」に毒されすぎた人なんじゃないか？とか思ったりします。

[83] mixiユーザー 02月19日 22:56

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