数学科　教師　講師コミュの教えてください

平面座標において、直線y=3-xのｘ軸、ｙ軸との交点をそれぞれA、Bとする。
またｘ軸上の点C（1,0）、ｙ軸上の点D(0,2)と、線分AB上を動く点Pがある。

（１）　点Pは、実数の変数ｔを用いて表せ。ただし（0＜＝ｔ＜＝1）とする。
（２）　線分CPの長さ（これもCPで表す）を（１）で述べた変数ｔを用いて表し、CPが最小にとなる時のｔを求めよ。
（３）　∠CPDは（１）で述べた変数ｔに対していつ最大となるか。

（１）、（２）はなんとか解くことができましたが、（３）について余弦定理、傾きからの正接をやってみたのですが、うまくいかなかったので是非ともアドバイスを下さい。

コメント(13)

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[1] mixiユーザー 01月23日 11:32

角が最大というのを式で処理するか、図形で行くかですね。

私なら円を使います。

[2] mixiユーザー 01月23日 11:45

一応やってみましたが、自信がないです。

Ｐ：（３ｔ，３－３ｔ）とする。　
※ちなみに（１）の答えは一意的には決定できないですね。

△ＢＣＰの面積の２倍＝３ｔ＋１
ベクトルＰＣとＰＤの内積＝（３ｔ－１，３－３ｔ）・（３ｔ，１－３ｔ）

∠ＣＰＤ＝θ　ＰＣ＝α　ＰＤ＝β　とすると、

２αβsinθ＝３ｔ＋１
αβcosθ＝（３ｔ－１，３－３ｔ）・（３ｔ，１－３ｔ）＝

θが最大になるところを求めたいが、θが９０度を超える部分があるから、θは９０度より大きいところだけで考えればいい。

その状況で、

２αβsinθ／αβcosθが最小になるｔを求めればいい。３ｔ＋１をあらためてｓと置くことで、これは、２ｓ＋１０／ｓ－９となる。これが最小になる正の数ｓ求めればいいが、相加相乗で求められる。

　こんな感じです。

[3] mixiユーザー 01月23日 13:28

2点C、Dを通る円が直線ABと接するとき、その接点が求める点Pです。

接弦定理で等しい角度ができますから、あとはどうとでも。

積分定数さんのベクトルを使った解法も良いですね。

[4] mixiユーザー 01月23日 15:49

＞その接点が求める点Pです。

やっぱりそうなりますね。そうに違いないと思ったのですが、一般的な証明に苦労して、やっとできた。

ちなみに、２番のコメントだけど、９０度云々は関係ないですね。最初正弦定理でやろうとして、それで９０度より大きいだの小さいだのを考えちゃいました。

１／tanθは、０度＜θ＜１８０度で素直に単調減少ですね。

気になるのは、ｔを求めよ、という文言。一意的に決まらない。

例えば、（３sinπｔ/2，３－３sinπｔ/2）とか

だから、（２），（３）も一意的に決まらない

[5] mixiユーザー 01月23日 15:54

接点のとき角が最大になるというのは、円の外に出たら角は小さくなるという、見た目で当たり前でも良いと思いますし、厳密にやるなら円周角と三角形の外角を用いれば中学生にもわかる証明ができます。

[7] mixiユーザー 01月23日 16:06

積分定数さん、Mickeyさんありがとうございます。

本当は、穴埋め問題なのですが、ここに投稿するうえで記述式にさせていただきました。

積分定数さん
ちなみに（１）の解答は（3-3ｔ，3ｔ）です。
△ＢＣＰの面積の２倍がなぜ２αβsinθとなるんですか？

私の力不足でお手数おかけいたしますが、よろしくお願いします。

[8] mixiユーザー 01月23日 16:12

積分定数さん
（３）の解答はｔ＝（4/3）-（√5）/3です。

[9] mixiユーザー 01月23日 18:20

＞本当は、穴埋め問題なのですが、ここに投稿するうえで記述式にさせていただきました。

なるほど、了解しました。

＞△ＢＣＰの面積の２倍がなぜ２αβsinθとなるんですか？

ごめんなさい、 αβsinθです。

[10] mixiユーザー 01月23日 19:49

にっきぃさん。穴埋めの誘導はどういう解法をさせようとしているのですか。

[11] mixiユーザー 01月24日 00:54

mickeyさん
上記のような問題文があり、即解答させるだけです。
誘導の問題は一切ありません。
穴埋め問題といえど答えしか見ない記述問題みたいなものです。

[13] mixiユーザー 01月25日 09:18

河合祐介さん＞
ありがとうございます。2010年理系大問2ですね。参考になりました。
なす角のタンジェントで求めようとしましたが、分母2次式、分子1次式になってしまい生徒によってはやはりできないみたいです。
円で考えたほうがいいみたいですね。

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