数学コミュのQuadrilateral ABCD of perimeter 684

Quadrilateral ABCD of perimeter 684 inches is inscribed in a circle; the lengths of sides AB, BC, CD and DA form an arithmetric progression with AB<BC<CD<DA. If the secant of angle BAD has value 89, find the length of the largest side of quadrilateral ABCD.

どなたかこの問題を解き、解法をおしえていただけませんか?　この問題は、この間あった数学の大会のもので、これ以外の問題は何とか解を求められたのですが、これだけはどうにも歯が立たず。

まだこれの解はわからないのですが、来週あたり伝えられると思うので正答がわかり次第おしらせします。

コメント(12)

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[1] mixiユーザー 11月26日 12:38

全く分からないんですが、和訳したら考えてくれる人が増えるかなと思って和訳してみました。

四辺形ABCDは周辺の長さが684（in.）で、円に内接する。
各辺AB、BC、CD、およびDAの長さは、「AB<BC<CD<DA」の関係にある。
sec∠BAD＝89のとき、DAの長さを求めよ。

[2] mixiユーザー 11月26日 13:02

AB,BC,CD,DAが等差数列(arithmetic progression)だという条件が抜けていますよ。

[3] mixiユーザー 11月26日 14:15

　等差数列ということなので、まず、ＡＢをａとおきます。
等差数列の公式から
ＤＡ＝ａ＋３ｄ　←（Ａｎ＝ａ＋（ｎ－１）ｄ）ｄは公差
もう一つ等差数列の和の公式から
４ａ＋６ｄ＝６８４　←（Sn＝n/2{2a+(n-1)d})
あともうひとつの情報角度89度からDAの長さの方程式がたてられます。わかりやすいようにBDに線を引いてみると三角形ABDができます。　したがって
DA＝a*tan(89)=　５７．２９a　（小数点２デジットまでなので約５７．２９a)
この３つの式から　a もｄ　もでます。ちなみに　ａ＝５．８３６，ｄ＝１１０．１１　（ａ＝５，８４；小数点２デジットだと）　確かめるために一応全部の辺を求めて、足してみましたが、６８４．０４とかになったので問題ないと思います。

[4] mixiユーザー 11月26日 14:20

計算完了しましたけど89という数字のせいで手計算では二重根号が解消できずに正確な近似値がすぐに出ませんねぇ。
単純に三角形の余弦定理にブチ込んで強引に計算ゴリ押ししましたが。。

[5] mixiユーザー 11月26日 14:22

等比数列はa-3\alpha/2,a-\alpha/2,a+\alpha/2,a+3\alpha/2の方が計算がスッキリしませんか？＞ひろさん

[6] mixiユーザー 11月26日 14:27

等比数列？？ではなくて等差数列の問題ですよね？？
この\マークは？？

[7] mixiユーザー 11月26日 14:30

失礼、等差数列です。\alphaはTeXで数式中でギリシア文字のsmall alphaを出すときのコマンドです。

[8] mixiユーザー 11月26日 14:34

単純にＢＤに補助線を引いて△ＡＢＤと△ＣＤＢでそれぞれＢＤを出す余弦定理を使って、等号で結べば小数点も出ずに計算できましたが。
計算もさほど大変じゃなかったです。

[9] mixiユーザー 11月26日 22:07

EDKさんに同感です。計算していなくても、直感的に明らかでしょう。因数分解がしっかりできれば、周の長さと合わせて、簡単に計算できます。後は、円に内接する四角形の内角の関係が分かっていれば、式も余弦定理ですっきりします。

基本的なことですが、secantは大丈夫ですよね？それさえ分かれば、Cosine Theoremが使えることに気づきますよね？
一応参考までに、私の計算だと、198-inchになりました☆

[10] mixiユーザー 11月27日 09:40

ヨシさん、knifeさん
わざわざ訳していただきありがとうございます。

ヒロさん
89は、角度ではなくsec∠BADの解だと思うのですが,

EDKさん、EconToshiさん
なるほど、それで解を出せました。簡単に、とはいきませんでしたが。それで、EconToshiさんと同じ、198-inchを出せました。

みなさんありがとうございました。
解がわかり次第お伝えします。

[11] mixiユーザー 11月27日 15:19

secantの訳がわかりませんでした。すいません。でも問題を解くのは面白くて楽しみました。回答お待ちしてますｗｗ。

[12] mixiユーザー 01月06日 09:23

皆さんお待たせして申し訳ございませんやっと答えわかりました。198-inchで合っているようです。

解法は載っていませんでしたが、知り合いにも確認してみたら、問題のないようです。

皆さんありがとうございました。
遅くなってすいませんでした。

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