数学コミュの行列との関係性

普通の入試問題について質問です。

サイコロを4回投げて出た目をそれぞれa,b,c,dとし、
二次式の関数f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)を考える。
(1)f(x)=0の時、必ず2つの実数解を持つことを示せ。
(2)f(x)=0の解の内１つは必ず正であることを示せ。
(3)f(x)=0の解がx≧0となる確率は1/2以上であることを示せ。

12年奈良女理

(1)はD＞0がすぐに言えるので瞬殺。
(2)も平方完成して軸が正となるから瞬殺。
(3)はad-bc≧0となる確率を示せばよいので、ad-bc＞0となる確率とad-bc＜0となる確率が等しいことから一撃です。

この問題そのものは難しくないですが、f(x)=0となるとき、
行列Ａ=|a b|
　　　 |c d|
をxと置き換えると、ハミルトン・ケーリーの定理からその式が成り立つことにすぐ気付きます。

ここで、問題の条件を満たす行列にどういった性質があるのか、作問者がどうしてわざわざこの式にしたのか、ということが非常に気になります。

また、行列の見地に基づく解法はあるのかということも気になります。

しかしそこまで考えられるほど自分に実力があるわけでもないので、どなたか気付いたことがあれば教えて戴きたいと思います。

コメント(3)

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[2] mixiユーザー 12月05日 00:18

>>[001]
問題集からの転載なのでちょっと分からないです。問題文見直すと雑でしたね。
正確には、

サイコロを4回投げて出た目をそれぞれa,b,c,dとし、
二次式の関数f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)を考える。
(1)f(x)=0の時、この二次方程式が必ず2つの実数解を持つことを示せ。
(2)f(x)=0の解の内１つは必ず正であることを示せ。
(3)f(x)=0の解がx≧0となる確率は1/2以上であることを示せ。

原文を書き換えた等の表記は見当たらないので恐らく原文ママかと。

[3] mixiユーザー 12月06日 02:20

(1),(2)はPeron-Frobeniusの定理と関係ありますね。

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