数学の質問＆宿題○投げ場コミュの教えてもらえませんか？！

円に内接する四角形ABCDの面積を求めよ。AB=BC=4，CD=6，DA=10
BとDで２つの三角形に分けると解けるのですが、AとCで分けると解けなくなります。何故なのでしょうか？
図は下記の通りです。

コメント(4)

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ACの長さをxとおくと、余弦定理により
cosB=32-x^2/2*4*4
cosD=136-x^2/2*6*10
円に内接しているから、∠D=180-B cosD=cos(180-B)=-cosB
cosD=-cosB

よって、136-x^2/15=x^2-32/4 これを解くと
19x^2=1024 となります

何故、AとCを対角線で結んだら解けなくなるのでしょうか？初歩的な質問ですいません

お願い致します。

[2] mixiユーザー 12月24日 22:26

解けますよ。
19x^2=1024 より
x^2=1024/19
cosB=(32-1024/19)/2*4*4=(19-32)/19=-13/19
よって
sinB=√1-(13/19)^2=(√192)/19=8√3/19
sinB=sinD
面積は
△ABC+△CDA=1/2*4*4*sinB+1/2*6*10*sinD=1/2*76*8√3/19=16√3

円に内接する四角形の面積については、ブラマグプタの公式が有名です。
辺の長さを，a,b,c,d 面積をSとすると
s=(a+b+c+d)/2 として
S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
4,4,6,10 を代入すると
s=12
S=√8*8*6*2=16√3
知っていると検算に使えます。
三角形についてのヘロンの公式は,d=0 の場合です。

[3] mixiユーザー 12月25日 09:11

すみません。転記ミスしています。
sinB=√1-(-13/19)^2=(√192)/19=8√3/19
訂正します。結果は変わりません。

[4] mixiユーザー 12月25日 19:48

> mizoさん

遅くなりました

ありがとうございました(*^_^*)