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コメント(6)
【問い】
x^2＋y^2＝4のとき，2x^2＋y^2＋2y−2の最大値と最小値を求めよ．
【回答】
x^2＋y^2＝4は原点を中心とする半径2の円である．
したがって，xとyのとりうる値の範囲は
|x|≦2，|y|≦2である．
-------
つまり−2≦x≦2，−2≦y≦2のことですね．
グラフを書けば明らかです．
-------
また
x^2＋y^2＝4より
x^2＝4−y^2…?
これを2x^2＋y^2＋2y−2…?へ代入すると
2(4−y^2)＋y^2＋2y−2
＝−y^2＋2y＋6
＝−{(y−1)^2−1}＋6
＝−(y−1)^2＋7
∴(「ゆえに」という意味)
y＝1のとき，最大値7
このときのxの値は±√3 (|x|≦2を満たす)より
(x，y)＝(±√3，1)のとき，最大値7
また
−(y−1)^2＋7より
y＝−2のとき最小値をとるから
−(−2−1)^2＋7＝−2より
y＝−2のとき，最小値−2
このときのxの値は0だから
(x，y)＝(0，−2)のとき，最小値−2
□
こんな感じですね．
解を持つといった条件は特に明記されていませんので使えません．
xとyの範囲に気づけるかが勝負の分かれ目でしたね．
x^2＋y^2＝4のとき，2x^2＋y^2＋2y−2の最大値と最小値を求めよ．
【回答】
x^2＋y^2＝4は原点を中心とする半径2の円である．
したがって，xとyのとりうる値の範囲は
|x|≦2，|y|≦2である．
-------
つまり−2≦x≦2，−2≦y≦2のことですね．
グラフを書けば明らかです．
-------
また
x^2＋y^2＝4より
x^2＝4−y^2…?
これを2x^2＋y^2＋2y−2…?へ代入すると
2(4−y^2)＋y^2＋2y−2
＝−y^2＋2y＋6
＝−{(y−1)^2−1}＋6
＝−(y−1)^2＋7
∴(「ゆえに」という意味)
y＝1のとき，最大値7
このときのxの値は±√3 (|x|≦2を満たす)より
(x，y)＝(±√3，1)のとき，最大値7
また
−(y−1)^2＋7より
y＝−2のとき最小値をとるから
−(−2−1)^2＋7＝−2より
y＝−2のとき，最小値−2
このときのxの値は0だから
(x，y)＝(0，−2)のとき，最小値−2
□
こんな感じですね．
解を持つといった条件は特に明記されていませんので使えません．
xとyの範囲に気づけるかが勝負の分かれ目でしたね．
【問い】
x^2＋y^2＝4のとき，2x^2＋y^2＋2y−2の最大値と最小値を求めよ．
【回答１】
x^2＋y^2＝4だから，極座標変換より
x＝2cosθ，y＝2sinθ（0≦θ≦2π）とおける．
2x^2＋y^2＋2y−2より
8(1−sin^2θ)＋4sin^2θ＋4sinθ−2
＝−4sin^2θ＋4sinθ＋6
＝−4{(sinθ−1/2)^2−1/4}＋6
＝−4(sinθ−1/2)^2＋7
∴−1≦sinθ≦1より
sinθ＝1/2，つまりy＝1のとき，最大値7
このときのxの値は，x^2＋y^2＝4よりx＝±√3
よって
(x，y)＝(±√3，1)のとき，最大値7
同様にして，−4(sinθ−1/2)^2＋7より
sinθ＝−1，つまり(x，y)＝(0，−2)のとき，最小値−2
□
このように極座標変換を使って求めることもできますね．
ちなみに，最大値・最小値を求める際のθの値は出さなくてもいいですが，θは最大値・最小値をとるための(x，y)座標と原点を直線で結んだときのなす角となりますね．
【回答２】
質問者様の途中経過を吟味してみました．
2x^2＋y^2＋2y−2＝kとおく．
x^2＝4−y^2より
2(4−y^2)＋y^2＋2y−2−k＝0
−y^2＋2y＋6−k＝0…（＊）
y^2−2y＋k−6＝0
ここで，y^2−2y＋k−6＝0における判別式D/4がD/4≧0であることは，x^2＋y^2＝4を満たすための必要十分条件であるから
D/4＝1−k＋6≧0
k≦7
∴最大値は7
このときのyの値は，k＝7より
y^2−2y＋1＝0
y＝1
よって，x＝±√3となるので
(x，y)＝(±√3，1)のとき，最大値7
（＊）からこんな風に解くこともできます．
−y^2＋2y＋6−k＝0
−y^2＋2y＋6＝k
ここで，yz平面において
放物線z＝−y^2＋2y＋6と
直線z＝kを考える
放物線z＝−(y−1)^2＋7より
直線z＝kはk＝7のとき放物線と共通解を持ちかつ最大値をとる．
∴k＝7
最小値については（＊）の解法でしたら素直に−2≦y≦2を使ってy＝−2を代入するのがいいでしょう．
他を使って(kを用いる解法)最小値を求める方法は思いつきませんでした．
吟味すると色んな解法があって面白いですよね．
x^2＋y^2＝4のとき，2x^2＋y^2＋2y−2の最大値と最小値を求めよ．
【回答１】
x^2＋y^2＝4だから，極座標変換より
x＝2cosθ，y＝2sinθ（0≦θ≦2π）とおける．
2x^2＋y^2＋2y−2より
8(1−sin^2θ)＋4sin^2θ＋4sinθ−2
＝−4sin^2θ＋4sinθ＋6
＝−4{(sinθ−1/2)^2−1/4}＋6
＝−4(sinθ−1/2)^2＋7
∴−1≦sinθ≦1より
sinθ＝1/2，つまりy＝1のとき，最大値7
このときのxの値は，x^2＋y^2＝4よりx＝±√3
よって
(x，y)＝(±√3，1)のとき，最大値7
同様にして，−4(sinθ−1/2)^2＋7より
sinθ＝−1，つまり(x，y)＝(0，−2)のとき，最小値−2
□
このように極座標変換を使って求めることもできますね．
ちなみに，最大値・最小値を求める際のθの値は出さなくてもいいですが，θは最大値・最小値をとるための(x，y)座標と原点を直線で結んだときのなす角となりますね．
【回答２】
質問者様の途中経過を吟味してみました．
2x^2＋y^2＋2y−2＝kとおく．
x^2＝4−y^2より
2(4−y^2)＋y^2＋2y−2−k＝0
−y^2＋2y＋6−k＝0…（＊）
y^2−2y＋k−6＝0
ここで，y^2−2y＋k−6＝0における判別式D/4がD/4≧0であることは，x^2＋y^2＝4を満たすための必要十分条件であるから
D/4＝1−k＋6≧0
k≦7
∴最大値は7
このときのyの値は，k＝7より
y^2−2y＋1＝0
y＝1
よって，x＝±√3となるので
(x，y)＝(±√3，1)のとき，最大値7
（＊）からこんな風に解くこともできます．
−y^2＋2y＋6−k＝0
−y^2＋2y＋6＝k
ここで，yz平面において
放物線z＝−y^2＋2y＋6と
直線z＝kを考える
放物線z＝−(y−1)^2＋7より
直線z＝kはk＝7のとき放物線と共通解を持ちかつ最大値をとる．
∴k＝7
最小値については（＊）の解法でしたら素直に−2≦y≦2を使ってy＝−2を代入するのがいいでしょう．
他を使って(kを用いる解法)最小値を求める方法は思いつきませんでした．
吟味すると色んな解法があって面白いですよね．
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