数学の質問＆宿題○投げ場コミュの幾何学の問題です。

図のように四角形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上に、それぞれＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈがあり、
AE/BE=CF/BF=CG/DG=AH/DHであるとき、四角形ＫＬＭＮ=△AEk+△BFL+△CGM+△DHAとなる事を証明せよ。
このような問題です。図は下記の通りです。

コメント(13)

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[1] mixiユーザー 05月13日 11:34

どうかよろしくお願い致します(*^_^*)

[2] mixiユーザー 05月13日 12:15

すいません。間違えてました

最後の三角形は△ＤＨＮです。よろしくお願い致します。

[5] mixiユーザー 05月14日 03:58

ＡＥ/ＢＥ＝ＣＦ/ＢＦ＝ＣＧ/ＤＧ＝ＡＨ/ＤＨより、
ＡＥ：ＢＥ＝ＣＦ：ＢＦ＝ＣＧ：ＤＧ＝ＡＨ：ＤＨ＝ｋ：(１－ｋ)　とおける。

△ＡＥＤ＝△ＡＢＤ×(ＡＥ/ＡＢ)＝△ＡＢＤ×ｋ/(ｋ＋１－ｋ)＝ｋ△ＡＢＤ
同様に、△ＣＧＢ＝ｋ△ＣＤＢ
よって△ＡＥＤ＋△ＣＧＢ＝ｋ(△ＡＢＤ＋△ＣＤＢ)
　　＝ｋ×四角形ＡＢＣＤ－－－(1)

△ＡＢＦ＝△ＡＢＣ×(ＢＦ/ＢＣ)＝△ＡＢＣ×(１－ｋ)/(１－ｋ＋ｋ)＝(１－ｋ)△ＡＢＣ
同様に、△ＣＤＨ＝(１－ｋ)△ＣＤＡ
よって△ＡＢＦ＋△ＣＤＨ＝(１－ｋ)(△ＡＢＣ＋△ＣＤＡ)
　　＝(１－ｋ)×四角形ＡＢＣＤ－－－(2)

(1)＋(2)より、△ＡＥＤ＋△ＣＧＢ＋△ＡＢＦ＋△ＣＤＨ
　　＝(ｋ＋１－ｋ)×四角形ＡＢＣＤ＝四角形ＡＢＣＤ－－－(3)

図と(3)から、
　四角形ＫＬＭＮ
＝四角形ＡＢＣＤ－{(△ＡＥＤ＋△ＣＧＢ＋△ＡＢＦ＋△ＣＤＨ)
　　　　　　　　　　－(△ＡＥＫ＋△ＢＦＬ＋△ＣＧＭ＋△ＤＨＭ)}
＝四角形ＡＢＣＤ－{四角形ＡＢＣＤ－(△ＡＥＫ＋△ＢＦＬ＋△ＣＧＭ＋△ＤＨＭ)}
＝△ＡＥＫ＋△ＢＦＬ＋△ＣＧＭ＋△ＤＨＭ
よって四角形ＫＬＭＮ＝△ＡＥＫ＋△ＢＦＬ＋△ＣＧＭ＋△ＤＨＭ

本に書いてあると思いますが、
・比(分数も同じ)が出てきたら、三角形の線分比か面積比に持ち込む
　（比の値のおき方は何でもいいが、全体を１となるようにおくと式が書きやすい）
・四角形は対角線で切って三角形で考える（上の(1)(2)のやり方）か、
　全体から引き算して考える（上の四角形ＫＬＭＮの出し方）
がポイントです。

[6] mixiユーザー 05月14日 13:34

> じゅんじゅんさん
ありがとうございます(*^_^*)
例えば、
AE:BE=CF:BF=CG:DG=AH:DH=a：b
とおくと、
△AED+△CGB+△ABF+△CDH=2(a+b)/a+b
となってしまい、計算出来なくならないでしょうか？御手数お掛け致します。

[7] mixiユーザー 05月14日 15:51

計算できますよ。ご自分で最後までやってみてください。

[8] mixiユーザー 05月14日 16:16

> じゅんじゅんさん
ありがとうございます(*^_^*)
えっ！！！計算出来るんですか？

どう計算しても、『△AED+△CGB+△ABF+△CDH』が２になってしまうのですが(ρ.-)

[9] mixiユーザー 05月14日 16:34

> じゅんじゅんさん

△AED+△CGB+△ABF+△CDH=2
のところまでは、計算はあっているでしょうか？御迷惑お掛け致します。

[10] mixiユーザー 05月14日 16:46

あっていません。もう一度やってみてください。

[11] mixiユーザー 05月14日 17:16

> じゅんじゅんさん

△AED=a/(a+b)△ABD
これは合っていますでしょうか？