数学の質問＆宿題○投げ場コミュの教えて頂けないでしょうか？

1辺の長さが10cmの立方体に球Ｏが内接している。辺ＡＢ，ＢＣ，ＥＦ，ＦＧの中点をそれぞれＫ，Ｌ，Ｍ，Ｎとするとき、次の値を求めよ。
?4点Ａ，Ｅ，Ｎ，Ｌを通る平面で球Ｏを切るときの切り口の面積

?3点Ａ，Ｆ，Ｈを通る平面で球Ｏを切るときの切り口の面積
図は下記の通りです。

コメント(20)

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[1] mixiユーザー 04月29日 21:26

このような問題です。よろしくお願い致します。

[2] mixiユーザー 04月29日 21:50

問?について
点Ｈ，Ａ，Ｆを結んだら、1辺が10√2の正三角形ができると思うのですが。ここから先、どのように計算してよいか分かりません。よろしくお願いします。

[3] mixiユーザー 04月29日 22:28

球を平面で切ると切り口は円になります。この円の半径は、平面と球の中心の距離を考えることによって、三平方の定理から求められます。

問?についてなら、△ＡＦＨとＯの距離を求めます。これを直接求めるのは面倒なので、Ｅと△ＡＦＨの距離を求め、ＯＥからこの距離を引けば△ＡＦＨとＯの距離が求められます。この値ともとの球の半径から、切り口の円の半径を求めることができます。

[4] mixiユーザー 04月29日 22:45

> じゅんじゅんさん

簡単な図を書いて頂けないでしょうか？御迷惑お掛け致します（ｐ＿；）

[5] mixiユーザー 04月30日 00:29

うまく図がかけないのでわかってもらえるかどうかわかりませんが、こんな感じです。

左の図で、△ＡＦＨとＥＯの交点をＩとおくと、ＥＩは三角錐Ｅ－ＡＦＨで△ＡＦＨを底面とした場合の高さになるので、求められます。
ＥＯは対角線の半分なので、ＥＯ－ＥＩでＯＩが求められます。

右の図で、球の半径とＯＩによって直角三角形を考えると、残った辺が切り口の円の半径になります。

[6] mixiユーザー 04月30日 02:48

問? 平面図（立方体の真上から、面ABCDを見下ろす視点から見た図）で考えます。三角形ABLは、三辺の長さの比が１:２:√５の直角三角形ですから、相似を使って、中心から切り口までの距離は√5、切り口の小円の半径は2√5とわかります。面積 (2√5)2乗π=20π (cm2)です。

[7] mixiユーザー 04月30日 03:07

問? 直角三角形AECで三平方の定理を用いて、対角線ECの長さは10√3。これを真っ直ぐ高さ方向に持って来ると、３点D,B,G、３点A,F,Hはそれぞれ高さを３等分する水平面に、正三角形の頂点を象って並びます。この事から、中心から切り口までの距離は(5／3)√3、面積は (50／3)π (cm2)となりました。

[8] mixiユーザー 04月30日 08:45

> アレックスさん
ありがとうございますo(^-^)o
申し訳ありませんが、簡単な図を書いて頂けないでしょうか？御迷惑お掛け致します。

[9] mixiユーザー 04月30日 17:10

問?で、点Ｈ，Ａ，Ｆはどれも正方形の対角線になるので、△ＡＦＨは1辺10√2の正三角形になります。図は正三角形の中に球Ｏが内接している状態です。ここから重心を求め、球の半径を求めたら、解答は一致しました。何故、切り口の面積が球の半径になるのでしょうか？よろしくお願い致します。

[10] mixiユーザー 04月30日 22:29

質問の内容を少し訂正させて頂きます。
何故、丸で印をつけた部分が、球Ｏを切るときの切り口の面積になるのでしょうか？よろしくお願い致します。

[12] mixiユーザー 05月01日 11:11

> 翠さん

そうです。すいません。何故、そうなるのでしょうか？

[14] mixiユーザー 05月01日 12:11

> 翠さん

アレックスさんの仰っている事を図に描いてもらえないでしょうか？大変申し訳ありません。。。(〃_ _)σ∥

[16] mixiユーザー 05月01日 13:56

> 翠さん

どういう意味でしょうか？御迷惑お掛け致します。

[18] mixiユーザー 05月01日 17:49

>7 アレックスさんの説明について

左図で立方体を△ＡＦＨ、△ＢＤＧで切断し、立方体の対角線ＣＥとの交点を考えます（図の斜線部分は切り口）。

左図をＢＤに平行な方向から見ると右図になります。

右図で明らかにＯＣ＝ＯＥ、
また△ＡＥＩと△ＦＯＩは相似でＡＥ：ＦＯ＝２：１よりＥＩ：ＯＩ＝２：１
したがってＯＩ＝ＯＥ／３＝(ＣＥ／２)／３＝ＣＥ／６
ＣＥ＝10√３より、ＯＩ＝10√３／６＝５√３／３となります。
（図からＥＩ＝ＩＪ＝ＪＣも言えます）
△ＯＫＩは直角三角形になるので、ＯＫ＝球の半径＝10より、計算して
ＩＫ（切り口の円の半径）を求めることができます。

この問題は「三角形による球の切り口」ではなく、「３点を含む平面による球の切り口」を聞いているので、三角形の面積を出すことに直接の意味はありません（三角形にこだわりすぎない方がよい）。

[20] mixiユーザー 05月03日 12:18

じゅんじゅんさんの図は、判りやすいなぁ！カラフルだし。投影図上で図形の相似を使われたのですね。
...実は私の場合、正三角形の切り口が立方体の対角線を３等分する理由はもっと単純に、立方体の面である正方形の対称性に拠っているわけで、証明して確かめたと言うより、観察して気づいた、といった類いのものです（図、見てください）。じゅんじゅんさんが相似で証明して下さったので、これからは大手振って使えます。ありがとうございました。

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