数学の質問＆宿題○投げ場コミュのお願いします( ..)φ

（問題）図１のように、△ＡＢＣの∠Ａの二等分線とＢＣとの交点をＤとし、点Ｃを通り辺ＡＢに平行な直線とＡＤの交点をＥとする。次の問いに答えろ。

１　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣになることを証明せよ。

２　さらに図２のように、ＡＢの中点をＭとして、ＡＤとＣＭの交点をＰとする。ＡＢ＝１６ｃｍ、ＢＣ＝１３ｃｍ、ＣＡ＝１０ｃｍのとき、

（１）ＭＰ：ＰＣ　をもっとも簡単な整数の比で表せ。

（２）ＡＰ：ＰＤをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

お願いします( ..)φ

後１問あります(T_T)/~~~

コメント(14)

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[1] mixiユーザー 01月17日 19:10

＞１

　ABとCEが平行から　　∠BAE=∠CEA
　一方，∠BAE=∠CAEであるから　　∠CEA=∠CAE
　よって　　AC=CE･･･?
　また，ABとCEが平行であるから　　BD:DC=AB:CE･･･?
　?，?より　　BD:DC=AB:AC

[2] mixiユーザー 01月17日 19:19

１　△ＡＢＤと△ＥＣＤで、
　ＡＢとＣＥは平行なので、∠ＢＡＤ＝∠ＣＥＤ－－－(1)、
　∠ＡＢＤ＝∠ＥＣＤ－－－(2)（錯角）
　２角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＤ∽△ＥＣＤ
　よってＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＥＣ－－－(3)
　また仮定より∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ－－－(4)なので、
　(1)(4)より∠ＣＥＤ＝∠ＣＡＤ
　よって△ＡＣＥは二等辺三角形となり、ＥＣ＝ＡＣ－－－(5)
　よって(3)(5)よりＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ

２　（１）
　１と同じように考えて、△ＡＭＤで∠ＭＡＰ＝∠ＣＡＰより、
　ＭＰ：ＰＣ＝ＡＭ：ＡＣ＝８：１０＝４：５

　（２）Ｄを通りＭＣに平行な直線を引き、ＡＢとの交点をＮとすると、
　ＢＮ：ＮＭ＝ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝１６：１０＝８：５
　ＢＭ＝ＡＭより、ＡＭ：ＭＮ＝ＢＭ：ＭＮ＝（ＢＮ＋ＮＭ）：ＮＭ＝１３：５
　さらにＭＣとＮＤは平行なのでＡＰ：ＰＤ＝ＡＭ：ＭＮ＝１３：５

　　※高校生ならもっとシンプルな解法があります。

[3] mixiユーザー 01月17日 19:44

>２

(1)　１のように点Eをとると，ABとCEが平行であるから
　　　　MP:PC=AM:CE=1/2AB:AC=8:10=4:5

(2)　１より，BD:DC=AB:AC=16:10=8:5･･･?
　　DからCM平行な直線を引き，辺ABとの交点をNとする。
　　MCとNDは平行であるから　　MC:ND=BC:BD
　　ゆえに，?より　BC:BD=(BD+DC):BD=13:8　　すなわち　MC:ND=13:8
　　よって　　ND=(8/13)MC･･･?
　　また，(1)より　　MP:MC=MP:(MP+PC)=4:9　　
　　よって　　MP=(4/9)MC･･･?
　　?，?より　　MP:ND=(4/9):(8/13)=13:18
　　さらに，MPとNDが平行であるから　　AP:AD=MP:ND=13:18
　　したがって　　AP:PD=AP:(AD-AP)=13:5　

[4] mixiユーザー 01月17日 19:46

２は、メネラウスの定理を使えば簡単に解けますが･･･

[5] mixiユーザー 01月17日 20:06

ヨッシーさん、じゅんじゅんさん＞＞＞ありがとうございます(^o^)丿

メネラウスの定理ってどう使うんでしたっけ？

[6] mixiユーザー 01月17日 20:10

あとこの問題なんですが、写真は規則的に整数を記入しているマスがある。

（１）４３０は何行何列目の数か？

これ私なりに解いたのですが、１１行２１列目あってますかぁ

[7] mixiユーザー 01月17日 23:24

あっていると思いますよ。

ｍ行ｎ列の数は,
ｍ≧ｎのとき,
(ｍ－１)＾2＋ｎ－１＝ｍ＾2－２ｍ＋ｎ＝ｍ(ｍ－２)＋ｎ
ｍ＜ｎのとき,
ｎ＾2－ｍ

ｍ＝11,ｎ＝21のとき
21＾2－11＝430

[8] mixiユーザー 01月18日 14:07

メネラウスの定理

http://www.cfv21.com/math/menelaus.htm

[9] mixiユーザー 01月18日 17:41

最初の図形の問題の
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣは
ADが∠Aの二等分線の時に必ず成り立ち角の二等分線の性質と俗にいわれてます。
覚えておいたほうがいい事実でしょう。

マスの問題
この問題を解く時に注目する重要な事実として
m行1列目の数字の前までには
（m-1）＾２の正方形のマスに数字が埋まっている事実です。

そのためにm行1列目の数字は
（m-1）＾２＋１番目の数字であることがわかります。

この場合０からはじまって1ずつふえているので
m行1列目の数字が（m-1）＾２であることがわかります。

このため400（=20^2）<430<441(=21^2)
から21行１列から始まって1行21列までならぶ」のなかにあるとわかります。

またm行m列目の数字（対角線上の数字）から上に向かって並びはじめるので
（m-1）＾２＋１番目から（m-1）＾２＋m番目の数までが横方向に伸びていることがわかります
今回の場合は
数字が（m-1）＾２から（m-1）＾２+m-1までが横方向にならんでいるので
m=21をいれると
400～420までが横方向にのびているとわかります
430はこの中にはいらないので、？行21列の数字であることがわかります
ここで最後まで数字がはいりきると1行21列の数字が440（=21^2-1）であることに注目して
1行増えると数字が1個下がる関係に着目すると
430という数字は11行21列の数字であることがわかります。

[11] mixiユーザー 01月21日 21:17

解き方を書いても狐につままれたような感覚になると思うので

ユークリッドの互除法　不定方程式でぐぐったほうが幸せになれると思います。

ざっと見た中では
ttp://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/mnishi/08NT/note/chapter4.pdf
ttp://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/mnishi/08NT/note/chapter5.pdf
を読むのが一番近道だと思いますが
この手の文章が生理的に受け付けない人にはやや難しく感じるかもしれません。
ただ言ってることは中学生でも理解できる程度だと思います。

[12] mixiユーザー 01月22日 08:08

横から失礼します。私なりの解答です。ユークリッドの互除法です。

107x+41y=2 より
y=(-107x+2)/41=-3x+(16x+2)/41
ここで (16x+2)/41=a とおきます。(aは整数)
16x+2=41a より
x=(41a-2)/16=2a+(9a-2)/16
ここで (9a-2)/16=b とおきます。(bは整数)
9a-2=16b より
a=(16b+2)/9=b+(7b+2)/9
ここで (7b+2)/9=c とおきます。(cは整数)
7b+2=9c より
b=(9c-2)/7=c+(2c-2)/7
ここで (2c-2)/7=d とおきます。(dは整数)
2c-2=7d より
c=(7d+2)/2=3d+d/2+1
ここで d/2=n とおきます。(nは整数)

d=2n
c=3*2n+2n/2+1=7n+1
b=7n+1+{2(7n+1)-2}/7=9n+1
a=9n+1+{7(9n+1)+2}/9=16n+2
x=2(16n+2)+{9(16n+2)-2}/16=41n+5
y=-3(41n+5)+{16(41n+5)+2}/41=-107n-13

答え,x=41n+5,y=-107n-13 (nは整数)

[13] mixiユーザー 01月22日 08:54

【別解】
　まずは，特殊解x=5，y=-13を見つけ出す(x=1，2，3･･･と調べてゆくとx=5が解になることが見出される)。
　107x+41y=2･････?と107･5+41･(-13)=2とを辺々引き算して，
　107(x-5)+41(y+13)=0　　∴107(x-5)=-41(y+13)･････?
107と41の最大公約数は1であるから，左辺のx-5は41の倍数。
よって，x-5=41n（n：整数）･････?とおける。
これを?に代入して，107･41n=-41(y+13)　　∴y+13=-107n･････?
?，?より，?の整数解は，　x=41n+5，y=-107n-13（n：整数）

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