数学の質問＆宿題○投げ場コミュの高校数学です。

行列をX=(a、b、c、d) Y=(p、q、r、s) E=(1、0、0、1) O=(0、0、0、0)とするとき
関係式X+Y+E=O X=E(3乗) が成立している。

1、X-Eが逆行列をもとき、 Y(3乗)=Eを示せ。

2、Y=E(3乗)が成立するとき、X-Eは逆行列をもつことを示せ。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 08月26日 22:18

1. 条件は X+Y+E=O, X^3=E, ∃(X-E)^{-1}.
X^3=E⇔X^3-E=(X-E)(X^2+X+E)=O.
両辺に(X-E)^{-1}を左からかけてX^2+X+E=O.
Y^3=-(X+E)^3 (∵X+Y+E=O)
=-(X^3+3X^2+3X+E) (∵展開)
=-(E-3X-3E+3X+E) (∵X^3=E,X^2+X+E=O)
=E. //qed

2. 条件は X+Y+E=O, X^3=E, Y^3=E.
O=Y^3-E (∵Y^3=E)
=-(X+E)^3-E (∵X+Y+E=O)
=-(X^3+3X^2+3X+E)-E (∵展開)
=-3(X^2+X+E). (∵X^3=E)
∴(X-E)^2=X^2-2X+E (∵展開)
=-X-E-2X+E (∵X^2+X+E=O)
=-3X.
∴det(X-E)^2={det(X-E)}^2=9detX.
∴|det(X-E)|=3|detX|.
ここでX^3=Eより(detX)^3=detE=1.
∴detX≠0. ∴det(X-E)≠0. //qed

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