数学の質問＆宿題○投げ場コミュの級数の問題です

∞
Σ(n^2-n)x^(n-2)
n=2

の収束半径と収束値を求めよ。

という問題です。
a_n=(n^2-n)とおくと
収束半径は |a_n/a_(n+1)|→1 (n→∞) より1.
よって|x|＜1のときを考える.
与式をＳ(x)とおくと
(n+1)Ｓ(x)=Ｓ'(x)
この微分方程式を解くと
Ｓ(x)=2exp{(n+1)x}

となってしまって、収束しないのですが、どこで間違えたのか見当がつきません。
どなたかご教授くださいm(__)m

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 07月17日 15:47

微分方程式立式における「(n+1)S(x)=S'(x)」が誤り.
n は running index なので?の外に出せない.
(?の外のnと?で走るnは別の量として扱われる.)

?で走るnは別の文字(例えばm)に書き換えても意味は全く変わらないが,
(例: S(x)=?_{n≧2}n(n-1)x^{n-2}=?_{m≧2}m(m-1)x^{m-2}.)
?の外のnを別の文字に置き換えればその数式の意味が変わってしまう.
(例: n(?_{n=1,2}n)=3n. ?_{n=1,2}n^2=5.)

---
因みに F(x)=Σ_{n≧0}x^n とおくと
F'(x)=Σ_{n≧1}nx^{n-1},
F''(x)=Σ_{n≧2}n(n-1)x^{n-2}=S(x).
∴S(x)は F(x)=1/(1-x)(=Σ_{n≧0}x^n) の2階微分.

(S(x)の?がn=2からなのは優しい出題者からのhint.)

[2] mixiユーザー 07月17日 17:42

> こんがら童子さん
わかりやすく丁寧に解説していただきありがとうございます。助かりました。

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