数学の質問＆宿題○投げ場コミュの中3くらぃ

△ABCの内部に点Pをとり、直線APと辺BCの交点をD、直線BPと辺CAの交点をE、直線CPと辺ABの交点をFとする。

△PEF、△PFD、△PDEの面積がそれぞれ5、8、9のとき、△ABCの面積を求めよ。
ってな問題なんですが

コメント(7)

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AF:FB=1:2,AE:EC=1:3で△ABCの面積＝110
ってことはベクトルを使えば得られますが…

これを中３までの知識だけで説く方法は
恥ずかしながら私には全く分かりません。
ごめんなさい。でも面白い問題でした。

記号: 始点A,終点Bのベクトルを[AB]などと表わす。×は外積。

解答:
[AF]=s[AB](0<s<1) …?
[AE]=t[AC](0<t<1) …?
とおく.
Pは線分CF上の点だから0<k<1をパラメータとして
　[AP]=(1-k)[AF]+k[AC]=(1-k)s[AB]+k[AC].
Pは線分BE上の点だから0<h<1をパラメータとして
　[AP]=(1-h)[AB]+h[AE]=(1-h)[AB]+ht[AC].
これを連立方程式として解くと
　k=(1-s)t/(1-st), h=(1-s)/(1-st).
∴[AP]={(1-t)s[AB]+(1-s)t[AC]}/(1-st). …?
[AD]=r[AP]が辺BC上の点たるには
　r{(1-t)s/(1-st)+(1-s)t/(1-st)}=1.
∴r=(1-st)/(s+t-2st).
∴[AD]={(1-t)s[AB]+(1-s)t[AC]}/(s+t-2st). …?

????より
　[PD]=[AD]-[AP]={(1-t)s[AB]+(1-s)t[AC]}(1-s)(1-t)/(s+t-2st)(1-st) …?
　[PE]=[AE]-[AP]={t[AC]-[AB]}(1-t)s/(1-st) …?
　[PF]=[AF]-[AP]={s[AB]-[AC]}(1-s)t/(1-st) …?

所与の条件を???を使って書くと
　18=[PD]×[PE]={st(1-s)(1-t)^2/(s+t-2st)(1-st)}[AB]×[AC]. …?
　16=[PF]×[PD]={st(1-t)(1-s)^2/(s+t-2st)(1-st)}[AB]×[AC]. …?
　10=[PE]×[PF]={st(1-t)(1-s)/(1-st)}[AB]×[AC]. …?
※外積を使っているので符号や向きに注意.
※平面なので外積は単なる数値で除算可能.

?/?より9/8=(1-t)/(1-s). ∴9s=1+8t. …?
?/?より(1-s)/(s+t-2st)=8/5. …?
?に?を代入してtを消去すると(3s-1)(s-1)=0.
s<1ゆえs=1/3. このとき?よりt=1/4.

?とs=1/3,t=1/4より
△ABCの面積
=[AB]×[AC]/2
=5(1-st)/st(1-s)(1-t)
=5(1-1/12)/(1/12*2/3*3/4)
=5*11/12*24
=110. …(答)

[3] mixiユーザー 03月07日 10:40

たしかに中学レベルでは無理ですよね

ベクトル以外でも考えてみたんですができませんでした

面白い問題ですよね

かなりはまりました

また別問載せるつもりなんでよければ考えてみてくださぃ

[4] mixiユーザー 03月08日 01:29

この問題で決定できるのは[AB]×[AC]までで、
[AB],[AC]のなす角や辺の長さまでは決定できません。

逆に「角Aや各辺の長さまでは決定できない」ことが
何とかして分かっている場合はそれを逆手に取って、
A(0,0),B(k,0),C(0,h),P(a,b)(但しk,h>0)のように
具体的かつ扱いやすい座標を与えてしまえば、
直線や垂線の方程式を扱える(中2)程度でも解けますね。
概ね次のような手順になるかと。(私はやってません.)

手順:
?A(0,0),B(k,0),C(0,h),P(a,b)(但しk,h>0)とおく。
?D,E,Fの座標を(k,h,a,bの式として)求める。
?直線EF,FD,DEの式を求める。
?点Pから直線EF,FD,DEに下ろした垂線の足H,J,Kを求める。
?△PEFの面積=EF*PH/2=5,△PFDの面積=FD*PJ/2=8,△PDEの面積=DE*PK/2=9.
?前段で得た3式からa/k,b/hまでは決定できるはず。求める面積はkh/2.

「角Aや各辺の長さまでは決定できない」ことは事前に
示しておく必要はありませんが、解答を教える際に、
「何故A(0,0),B(k,0),C(0,h)ととるの？」と訊かれても、
「それで答えが出たらOKなの」としか答えられませんね。
使う材料は中2程度ですが、順序立てて処理する能力が必要で、
大学入試で出題しても解ききらん受験生が続出しそうです。

[5] mixiユーザー 03月08日 12:52

2,3年でメネラウスの定理，チェバの定理が指導される中学校もありますので，
以下のようにして中学3年でも解けます．

＜解＞
AD,BE,CFとEF,FD,DEとの交点をそれぞれ，G,H,Iとする．

チェバの定理より，
(AB/BF)･(FG/GE)･(EC/CA)=1（△AFEとその外点P）
(BC/CD)･(DH/HF)･(FA/AB)=1（△BDFとその外点P）
(CA/AE)･(EI/ID)･(DB/BC)=1（△CEDとその外点P）

ここで，
FG : GE = △PFD : △PDE = 8 : 9　（底辺PD共通）
DH : HF = △PDE : △PEF = 9 : 5　（底辺PE共通）
EI : ID = △PEF : △PFD = 5 : 8　（底辺PF共通）
より，
FG/GE = 8/9 , DH/HF = 9/5 , EI/ID = 5/8

AF/AB = x , BD/BC = y , CE/CA = z とおくと，
BF/AB = 1-x , CD/BC = 1-y , AE/CA = 1-z である．

これらを代入して整理すると，
8z + 9x = 9　･･･?
9x + 5y = 5　･･･?
5y + 8z = 8　･･･?
?+?+?より，9x + 5y + 8z = 11　･･･?
?-?より，y = 2/5
?-?より，z = 3/4
?-?より，x = 1/3

よって，AF/AB = 1/3 , AE/AC = 1/4 だから，
△AFE : △DEF = (AF/AB)･(AE/AC)△ABC : △DEF
　　　　　　　　　　= (1/3)･(1/4)△ABC : (5+8+9)
　　　　　　　　　　= △ABC : 22×12
一方，△AFE : △DEF = AG : GD　（底辺FE共通）
∴△ABC : 22×12 = AG : GD

ここで，メネラウスの定理より，
(AP/PD)･(DB/BC)･(CE/EA) = 1　（△ADCと直線BE）
∴(AP/PD)･(2/5)･(3/1) = 1
∴AP : PD = 5 : 6
また，GP : GD = 5 : (5+8+9)　（底辺FE共通）
　　　　　　　　　= 5 : 22
∴GP : PD = 5 : 17
よって，AG : GD = (5･17-5･6) : 22･6 = 5 : 12

∴△ABC : 22×12 = 5 : 12
∴△ABC = 110

[6] mixiユーザー 03月09日 16:46

チェバを中学で教える事あるんですね

初めてしりました

ん～たしかに

外点の見方に気付きませんでした

少し質問なんですが、こーゆぅ図形を考えるときどーいった点から考えられてますか？

僕はこの問題なら辺の比から考えたんですが、途中で止まってしまいまして

[7] mixiユーザー 03月13日 22:39

遅くなりました．

効率的・効果的な一般的思考法があれば困りませんが，ヒントになるものはあるらしいです．
参考本：『いかにして問題をとくか』（ググれば出ます）
興味がありましたら，是非読んでみてください．

どういった点から考えるかですが，この問題に限れば，
　　三角形の面積（仮定）　⇒　三角形の面積（結論）
なので，「仮定：結論の面積の比を求めればよい」と考えられます．
あとは，2つの三角形の面積比を求めるために必要なものを考えていけば，
そのうち「1つの等しい内角からの2つの線分比を求めること」になると思います．

ただ，私の場合はたまたま，メネラウス・チェバの定理を指導したばかりだったので，
この図形を見るとチェバを使いたくなったというのが正直なところです．
また，中学校の知識でなんとか解けないか，と考えた末の結論でもあります．

必ず解ける，最短の一般的思考法があればどんなに苦労しないことでしょう．

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