数学の質問＆宿題○投げ場コミュの数Ａ教えて下さい(;_;)

(１)１以上1000以下の整数全体の集合をＡとする。

(　　)≦ﾙｰﾄ1000＜(　　)+1であるから、Ａのうちで、平方数(整数の２乗となる数)は(　　)個、立方数(整数の３乗となる数)は(　　)個、また、整数の６乗になる数は(　　)個あり、平方数のうちで立方数ではない数は(　　)ある。

(２)集合Ｕとその部分集合Ａ、Ｂに対してn(Ｕ)=100、n(Ａ)=60、n(Ｂ)=48とする。ただし、n(Ｃ)は集合Ｃの要素の個数を表す。
このとき(　　)≦n(Ａ∩Ｂ)≦(　　)であるから、(　　)≦n(Ａﾊﾞｰ∩Ｂ)≦(　　)であり。
従って、(　　)≦n(Ａ∪Ｂﾊﾞｰ)≦(　　)となる。

教えて下さい(;_;)

コメント(3)

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[1] mixiユーザー 02月25日 18:38

（１）　１０００に近い平方数を考えます。

大雑把にいくと３０が思いつきますか？３０の２乗は９００です。

31^2 = 900 + 60 + 1 ＝ 961
32^2 = 900 +120 +4 ＝1024

です。これをふまえて、

31 = √961 < √1000 < √1024 = 32

がわかります。平方数は、
1^2 2^2 3^2 ・・・ 31^2
とあるわけですから、Aに属する平方数は３１個です。

同様に、立方数は
1^3 2^3 3^3 ・・・ 10^3 (=1000)　・・・・・・・・・・・・・・・・・（あ）
とあるわけですから、Aに属する立方数は１０個です。

同様に、６乗数なら
1^6 2^6 3^6
だけですから３つです。

ここで、3^6 = (3・3)・(3・3)・(3・3) = 9^3 は1000を超えません。（あ）参照。
また、4^6 = (4・4)・(4・4)・(4・4) = 16^3 は1000を超えます。（あ）参照。

ここまでをまとめると、
平方数・・・３１個
立方数・・・１０個
６乗数・・・３個
となりました。６乗数は平方数のうち、立方数でもあるものです。
よって、平方数のうち、立方数ではないものは、

３１－３＝２８個となります。

[2] mixiユーザー 02月25日 18:54

(２)集合Ｕとその部分集合Ａ、Ｂに対して

　　n(Ｕ)=100、　n(Ａ)=60、　n(Ｂ)=48

とします。A∩Bとは、Aの集合にもBの集合にも属するものの集まりですね。
従って、A∩Bの個数はAの個数やBの個数を超えることはありません。
よって、 n(A∩B)≦48がわかります。

次にA∩Bが少なくなるのはどんなときか考えましょう。
全然、共通元がなければ０個になります。
ところが、それは不可能です。なぜなら、全体で１００個しかないからです。
とりあえず、Aの６０個が、この６０個だ！と指定されていると想像してください。
A∩B　の元数を少なくするためには、Bの元はA以外の元を選んでいけばよい
ことになりますね。そうしましょう。

すると、１００－６０＝４０個はA以外にとれるわけです。
残り８個はもうAの元とかぶらざるを得ません。よって、

8 ≦n(A∩B)

です。ここまでをまとめると、8 ≦n(A∩B)≦48となります。

Aバー　は元数４０個ですね。（１００－６０＝４０）
元の個数がかわっただけで、さっきと同様にできます。同様にやると、

　0 ≦n(Ａﾊﾞｰ∩Ｂ)≦40

となります。最後に、（Ａﾊﾞｰ∩Ｂ)のバー　＝　Ａ∪Ｂﾊﾞｰ　ですね。
従って、１００から引けばいいわけです。補集合なので。

60 ≦n(Ａ∪Ｂﾊﾞｰ)≦100

どうでしょうか？

[3] mixiユーザー 02月25日 22:23

凄く丁寧に教えてくれて
ありがとですっっ！！

助かりました(>_<)
説明もよく分かりました！

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