数学の質問＆宿題○投げ場コミュのH24埼玉県教員採用試験臨任経験者特別選考問題

タイトルの試験を受けてきたわけですが、自分の確認も兼ねて問題をアップします。
よろしくお願いします。

1.　2次関数y=2ax^2 +ax +a-1のグラフが、常に2次関数y=ax^2 +xのグラフの下方にあるような、定数aの値の範囲を求めよ。

2.実数x,yが、条件x≧0,y≧0、x+y=2を満たすとき、x/(1+2y) + y/(1+2x)の最小値を求めよ。

3.方程式1/x + 1/y =1/5を満たす正の整数の組(x,y)は何個あるか求めよ。

4.点A(2,3)を通り、傾き2の直線をlとし、点Aを通り、lに直交する直線をmとします。また、放物線y=x^2をx軸方向にa(a≠0)だけ平行移動した曲線をCとします。このとき、曲線Cが直線l,mから切り取る2つの線分の長さが等しくなるようなaの値を求めよ

5. xを実数、k≧-4とするとき、y=9^x + 9^(-x) +k(3^x + x^(-x))の最小値を求めよ

6.曲線x^2 +3y^2 =3上に点Pがあります。また、2定点をA(root(3),0),B(0,1)とするとき、△APBの面積の最大値を求めよ

7.複素数zがz+z^(-1)=1を満たすとき、z^23 +z^(-18)の値を求めよ

8.無限級数1-1/3 +1/3 -1/5 +1/5 -1/7 +1/7 -1/9 +・・・の和を求めよ

9.101^2012の下位５桁の値を求めよ

10.実数x,y,zがx^2 +y^2 +z^2 =x+y+zを満たすとき、x-y-zの取りうる値の範囲を求めよ

11.a_1=root(3) ,a_2=root(3root(3)),a_3=root(3root(3root(3))),・・・のとき、lim(n→∞)a_nの値を求めよ

12.複素数zが不等式|z|≦|z-i|≦1を満たします。この複素数zが複素数平面上で描く図形の面積を求めよ

コメント(16)

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[1] mixiユーザー 07月11日 01:37

1.

2ax^2 +ax +a-1<ax^2 +x
ax^2+(a-1)x+a-1<0

この式が、D<0ならば題意を満たしている。
D=(a-1)^2-4a(a-1)<0
(a-1)(a-1-4a)<0
(a-1)(-3a-1)<0
a>1,a<-1/3
a>0のとき、題意を満たすことはあり得ないので、
a<-1/3

[2] mixiユーザー 07月12日 08:39

2.実数x,yが、条件x≧0,y≧0、x+y=2を満たすとき、x/(1+2y) + y/(1+2x)の最小値を求めよ。

テスト用裏技
x,y について対称だから、x=y のとき最大または最小と見当を付けて
x=y=1 を代入して、2/3

まじめに
x≧0,y≧0 だから、相加平均と相乗平均の関係が利用できる。
x+y≧2√xy より、xy≦1
x/(1+2y)+y/(1+2x)≧2√{x/(1+2y)*y/(1+2x)}=2√{1/(4+5/xy)}
xyが大きいほど 1/(4+5/xy) は、大きくなるので、xy=1 のとき最少
求める最小値は、x=y=1 のとき 2/3

[3] mixiユーザー 07月12日 10:16

3.方程式1/x + 1/y =1/5を満たす正の整数の組(x,y)は何個あるか求めよ。

左辺を通分して、(x+y)/xy=1/5
よって、xy=5(x+y)
移項して、xy-5x-5y=0
両辺に25を足して左辺を因数分解して、
(x-5)(y-5)=25
ここで、25の正の約数は1,5,25より、
((x-5),(y-5))=(1,25)、(5,5)、(25,1)のとき題意を満たす。
ゆえに、(x,y)=(6,30)、(10,10)、(30,6)のとき題意を満たすので3個

[4] mixiユーザー 07月12日 22:57

裏技３
方程式 1/x+1/y=1/5 を満たす正の整数の組(x,y)は何個あるか求めよ。

x,y について対称だから、x≦y とする。
1/x が大きい方だから
1/5>1/x≧1/5÷2=1/10
5<x≦10
x に 6,7,8,9,10 を代入　←ここからはじめる
y=5x/(x-5)
x=6,y=30
x=7,8,9 y が整数にならない。
x=10,y=10
逆も考えて、(6,30)(30,6)(10,10)
3 個

[5] mixiユーザー 07月14日 02:27

4.点A(2,3)を通り、傾き2の直線をlとし、点Aを通り、lに直交する直線をmとします。また、放物線y=x^2をx軸方向にa(a≠0)だけ平行移動した曲線をCとします。このとき、曲線Cが直線l,mから切り取る2つの線分の長さが等しくなるようなaの値を求めよ

題意より、
直線ｌの方程式はy-3=2(x-2)　ゆえに、y=2x-1 …(1)
同様に、直線mの傾きは-1/2より、
直線mの方程式はy-3=-1/2 (x-2)　ゆえに、y=-1/2 x+4 …(2)
さらに、曲線Cの方程式はy=(x-a)^2 …(3)

ここで、直線ｌと曲線Cとの交点をL1(x1,y1)，L2(x2,y2)，直線mと曲線Cとの交点をM1(x3,y3)，M2(x4,y4)とおく。(x1<x2, x3<x4)
L3(x2,y1)，M3(x4,y3)とおくと、直線l,mの傾きにより△L1L2L3と△M2M1M3は互いに1:2:√5の直角三角形で
相似であり、題意を満たすには△L1L2L3と△M1M2M3が合同になればよい。

つまり， 2(x2-x1)=(x4-x3) …(4)

よって、(1)と(3)を連立して (x-a)^2=2x-1
左辺に移項して x^2-2(a+1)x+a^2 +1=0
2次方程式の解の公式より計算をしてｘ=(a+1)±√(2a)
ゆえに、x1<x2より x2-x1=2√(2a) …(5)

また、同様に(2)と(3)を連立して計算すると、
x4-x3=2√(-1/2 a+65/16) …(6)

(4)(5)(6)より両辺を2乗して、
8a=-1/2 a+65/16
a=65/126

[6] mixiユーザー 07月15日 08:45

みなさん、ご協力ありがとうございます。

5.xを実数、k≧-4とするとき、y=9^x + 9^(-x) +k(3^x + x^(-x))の最小値を求めよ

X=3^x + 3^(-x)とすると、
与式
=X^2 -2+kX
=X^2+kX-2
=(X-k/2)^2 -k^2/4 -2

よって、X=k/2のとき -k^2/4 -2で最小。

[7] mixiユーザー 07月19日 02:12

6.曲線x^2 +3y^2 =3上に点Pがあります。また、2定点をA(root(3),0),B(0,1)とするとき、△APBの面積の最大値を求めよ

この曲線はx^2 /(√3)^2 +y^2=1と変形できるため、x軸に焦点のある、長軸の長さ2√3、短軸の長さ1の楕円である。
また、題意より、△APBの面積が最大になるのは点Pが第3象限にあり、かつ点Pでの接線が直線ABと平行になるときである。よって点Pでの接線の傾きは-1/√3。
ここでP(x1,y1)とおき、Pから直線ABに引いた垂線の足をQ(x2,y2)とすると、

△APBの面積=1/2 ×AB×PQ=PQ (←AB=2より)
また、PQの傾きは√3なので、PQの長さは2(x2-x1)で表すことができるため、これを求めればよい。

第3象限のときx<0,y<0であるので、x^2 +3y^2=3を変形して
y=-√(1-x^2 /3)
これを微分して
y'=x/√(9-3x^2)
これが-1/√3と一致すればよいので計算すると、(x1)<0よりx1=-√6 /2 …(1)
y1=-√2 /2
次に、直線PQの傾きは√3であるから、直線PQの方程式はy+√2 /2=√3（x+√2/2)を変形して
y=√3 x+√2となり、これを直線ABと連立させると、x2=√3 /4 -√6 /4 …(2)

ゆえに△APBの面積の最大値は、
2{(√3 /4 -√6 /4)-(-√6 /2)}

=√6 /2 +√3 /2

[8] mixiユーザー 07月19日 07:30

5. xを実数、k≧-4とするとき、y=9^x + 9^(-x) +k(3^x + x^(-x))の最小値を求めよ

問題に誤植があるようですね。

5. xを実数、k≧-4とするとき、y=9^x+9^(-x)+k(3^x+3^(-x))の最小値を求めよ

A=3^x+3^(-x) とおくと
3^a>0 (a は任意の実数)だから
A≧2 (等号は x=0 のとき)
y=(A+k/2)^2-k^2/4-2
y は、A の二次関数で、軸は-k/2≦2
よって、y の最小値は
A=2(x=0)のとき、2k+2

[9] mixiユーザー 07月19日 20:26

8>mizoさん
誤植でした。かつ、ものの見事にひっかけに引っ掛かってる自分がいました・・・orz

[10] mixiユーザー 07月20日 01:05

媒介変数を使ってみました。

6.曲線x^2 +3y^2 =3上に点Pがあります。また、2定点をA(root(3),0),B(0,1)とするとき、△APBの面積の最大値を求めよ

点P の座標は媒介変数を使用して次のように表せる。
(√3*cosθ,sinθ)　(0≦θ<2π)
△APBの面積
=|(√3*cosθ-0)*(0-1)-(sinθ-1)*(√3-0)|/2
=√3|1-√2sin(θ+π/4)|/2
これは、θ=5/4*π のとき最大になる。
最大値は、(√3+√6)/2

[11] mixiユーザー 07月24日 20:12

7はいまだに分からないので8

8.無限級数1-1/3 +1/3 -1/5 +1/5 -1/7 +1/7 -1/9 +・・・の和を求めよ

与式＝Σ[k=1 to ∞](1/(2k - 1) - 1/(2k+1))＝1-1/∞　＝1

9.101^2012の下位５桁の値を求めよ
61201

筆算で３乗くらいまでやると、1の位は1,10の位は0、100の位は指数の下１桁、1000の位は指数の10の位とわかる。

ちなみに今は面倒だったのでプログラム書いて101^2012乗全部を計算させてみた。

[12] mixiユーザー 07月24日 20:17

9は
（100+1）＾2012を考えて二項定理で考えればいけると思いますよ！

[13] mixiユーザー 07月24日 21:28

9番をリトライ

1*1^2012+2012*1^2011*100+2023066*1^2010*100^2+・・・
=1+201200+20230660000+・・・
=(略)861201

下５桁は61201

[14] mixiユーザー 07月24日 21:41

10も飛ばして
11.a_1=root(3) ,a_2=root(3root(3)),a_3=root(3root(3root(3))),・・・のとき、lim(n→∞)a_nの値を求めよ

a_n=Π[k=1 to n](3^(1/2k))
=3^(Σ[k=1 to n](1/2k))

lim[n→∞]a_n=3^(1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・)=3

[15] mixiユーザー 07月24日 23:20

7.複素数zがz+z^(-1)=1を満たすとき、z^23 +z^(-18)の値を求めよ

z+z^(-1)=1 より
z^2-z+1=0
z=(1±√3i)/2
=cosπ/3±sinπ/3*i
よって
z^3=-1
z^23 +z^(-18)=(z^3)^7*z^2+1/(z^3)^6
=-z^2+1
=(3±√3i)/2

[16] mixiユーザー 07月25日 15:37

8.無限級数1-1/3 +1/3 -1/5 +1/5 -1/7 +1/7 -1/9 +・・・の和を求めよ

与式＝Σ[k=1 to ∞](1/(2k - 1) - 1/(2k+1))＝1-1/∞　＝1

厳密に言うと、これは偶数番までの和の極限です。
奇数番までの和は常に１で、一致するので、１に収束します。

1-1+1-1+…などは、一致しないので発散します。

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