数学の質問＆宿題○投げ場コミュのよろしくお願いします（^_^）

写真の図のようにAB=3、BC=4、∠B=90°の△ABCがあり、円Oは△ABCの内接円である。また△PQRは正三角形で、点Sで円Oと接している。

このとき、辺QRの長さを求めなさい。

どうしても解けません(:_;)

よろしくお願いします

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 05月02日 01:10

多分ですが、PQ＝2√3－2cm だと思いますよ。

[2] mixiユーザー 05月02日 10:43

フォルティッシーモ >>>よかったら解き方お願いします(:_;)

[3] mixiユーザー 05月02日 11:33

まずQR＝RP＝PQ＝xとします。
内接円の半径は計算するとr＝1となります。
次にOから辺BCに垂線をおろしてその交点をDとして以下同様に辺CA、辺ABに垂線を下ろしてその交点を適当に点E、点Fとします。
実は△ODQと△OSQは合同で対応する角は等しく∠OQD＝∠OQSとなります！
そこで∠BQP＝120なので、∠OQD ＝ 60となります。そうすると△ODQ は直角三角形の有名な比の形となりDQ＝√3/3となります。
自分は全体の面積から求めていったのですが、
△ABC＝正方形BDOF＋四角形FOEA＋四角形EOSP＋四角形ODQS＋正三角形PQR＋三角形CRPなので、CR＝4－（1＋√3/3＋x）とPS＝x－√3/3に注意して計算すればx＝2√3－2となると思いますよ。

[4] mixiユーザー 05月04日 16:34

横から失礼します。小手先の改良です。

△ABC=四角形AFOE+正方形BDOF+五角形ODQPE+△PQC とすると見通しが良いと思います。
△ABC=1/2*4*3=6
四角形AFOE=2△AFO=2*(1/2*1*2)=2
正方形BDOF=1*1=1
五角形ODQPE=2△OQP=2*(1/2*x*1)=x
△PQC=1/2*(3-√3/3)*(√3/2*x)=(3√3-1)/4*x

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