数学の質問＆宿題○投げ場コミュのお願いします！！

微分方程式の問題です！

放射性元素は時刻tに存在する原子の数Nに比例する速度で崩壊する。崩壊して新しい放射性元素を生成する場合､時刻tにおける生成物質の原子の数をMとすればdN/dt=-λN,dM/dt=-μM+λNとなる。ここでλ及びμは各々もとの物質及び生成物質の崩壊定数である。時刻tにおける崩壊物質と生成物質の原子をもとめよ。また、生成物質の原子の数が極大になるのはいつか。

コメント(7)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 01月19日 01:47

まず、トピのタイトルは適切に付けて欲しいです。このコミュ、「お願いします」トピだらけ。
さて本題。MはNに依存するが、NはMに依存しないのですね。難しくありません。
最初に、Nを求めます。与式を変形すると
dN/N=-λdt 積分すると
log |N| = -λt + C (Cは積分定数)、更に変形すると
N = A exp ( -λt ) Aは定数。
t=0におけるNの値、N(0)が不明なのでAは決定出来ません。

これをMの式に代入します。
dM/dt= -μM + A exp( -λt )

む、これは難しい(笑)。数日お待ち下さい。

[3] mixiユーザー 01月23日 01:16

タカハシさんの続きはこんな感じになりますね。

[4] mixiユーザー 01月25日 10:30

そっか、非同次一次線形微分方程式の定数解法を使えば良かったのね。
画像だと読めない人が居るかも知れないから、>3 をテキスト化します。

dM/dt + μM = N0 λ exp( -λt ) ( N(0) = N0 と置きました )
M(t) = f(t) exp( -λt ) と置くと
{ f'(t) - λf(t) }exp( -λt ) + μf(t)exp( -λt ) = N0 λ exp( -λt )
両辺を exp( -λt ) で割ると
f'(t) - λf(t) + μf(t) = N0 λ
f'(t) + ( μ - λ )f(t) = N0 λ …(1)

f'(t) + ( μ - λ )f(t) = 0 を解くと、f(t) = A exp{ ( λ-μ )t }
更に、(1)の特殊解を求める。f(t) = (N0 λ)/( μ - λ )とすれば(1)が成り立つので、
f(t) = A exp{ ( λ-μ )t } + (N0 λ)/( μ - λ )
よって、
M(t) = { A exp[ ( λ-μ )t ] + (N0 λ)/( μ - λ ) }exp( -λt )
　= A exp( -μt ) + { (N0 λ)/( μ - λ ) }exp( -λt )

M(0)=M0 とおくと、M(0) = A + (N0 λ)/( μ - λ )
→ A = M0 - (N0 λ)/( μ - λ )
∴M(t) = {M0 - (N0 λ)/( μ - λ )}exp( -μt ) + { (N0 λ)/( μ - λ ) }exp( -λt )

//

[5] mixiユーザー 01月25日 10:59

それで、問題はこれで終わりではなくて、M(t)の極大値を与えるtを求める所までなんですね。
M(t)の極大値だから、tで微分して、dM/dt=0を与えるtを求めればよろしい。
tに依存する項はexp( - C t)の形をしているので、極大値を与えるのだからμ>0、λ>0を前提とします。

そこでtsukiさんが求めてくださったM(t)を素直に微分します。
dM(t)/dt = -μ{M0 - (N0 λ)/( μ - λ )}exp( -μt ) - λ{ (N0 λ)/( μ - λ ) }exp( -λt ) …(2)

(2) = 0 と置きますと、
-μ{M0 - (N0 λ)/( μ - λ )}exp( -μt ) - λ{ (N0 λ)/( μ - λ ) }exp( -λt ) = 0 、移項して
-μ{M0 - (N0 λ)/( μ - λ )}exp( -μt ) = λ{ (N0 λ)/( μ - λ ) }exp( -λt )、両辺をexp(-μt)で割ると
-μ{M0 - (N0 λ)/( μ - λ )} = λ{ (N0 λ)/( μ - λ ) }exp{ (μ-λ)t }
両辺を(N0 λ)/( μ - λ )で割ると
-μ{M0( μ - λ )/(N0 λ) - 1} = λexp{ (μ-λ)t }
両辺をλで割ると
-(μ/λ){M0( μ - λ )/(N0 λ) - 1} = exp{ (μ-λ)t }
左辺の項の順序を入れ替えて
(μ/λ){1 - M0( μ - λ )/(N0 λ)} = exp{ (μ-λ)t }
両辺のeを底とするlog、log_{e} を取れば (ln と表記)
ln [ (μ/λ){1 - M0( μ - λ )/(N0 λ)} ] = (μ-λ)t
∴極大値を与えるtは、
t = { 1/(μ-λ) } ln [ (μ/λ){1 - M0( μ - λ )/(N0 λ)} ]

以上//

[6] mixiユーザー 01月28日 01:34

> タカハシさん
わざわざありがとうございます。打つのが面倒だったので助かりました。

ちなみに、微分せずとも
dM/dt=-μM(t)＋λN(t)
なので、
-μM(t)＋λN(t)=0
をtについて解けばよいですね。M(t),N(t)はわかっていますので、あとは計算の問題です。

[7] mixiユーザー 01月30日 11:45

タカハシさん＆tsukiさん→わー(｀･∀･)ありがとうございます☆助かりました(*´∀｀*)

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ