数学の質問＆宿題○投げ場コミュの数学の問題です

i. 室温Ta 度の室内に温度T(t) 度のお湯を置いた時，お湯の温度の変化率は室温とその時点でのお湯の温度の差Ta −T(t) に比例する．室温は変化しないものと仮定し，比例定数をk > 0 としたとき，T(t)が満たすべき微分方程式を求めよ．
ヒント：k > 0 なので，「比例する」ときの係数の符号に注意せよ．温度差の符号とお湯の温度の変化率の符号との関係に注意．

ii. T(0) = T0 のときi. で求めた微分方程式を解き，一般解を求めよ．

iii. 室温20 度の部屋に90 度のお湯を8 時間放置した時のお湯の温度を小数点以下第2 位まで求めよ．ここで，
k =1/25000[s^−1] とする．

分かる方がいればよろしくお願いします

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 10月27日 16:44

i.
dT(t)/dt = k ( Ta - T(t) )

ii.
T'(t) ≡ dT(t)/dt と置く。
k T(t) + T'(t) - k Ta = 0 …(1)
ここで，TとT'が定係数通じて線形なので，指数関数が想定される。
T(t) = A exp(λt) + C と置くと，T'(t) = λA exp(λt)
(1)に代入して整理すると
k A exp(λt) + k C + λA exp(λt) - k Ta = 0
これより，λ= -k，C = Ta となる。T(t) = A exp(-kt) + Ta
ここでt=0と置くと，T(0)=A exp(0) + Ta = A + Ta = T0
これより，A = T0 - Ta
∴T(t) = (T0 - Ta) exp(-kt) + Ta 。

iii.
題意より，Ta=20, T0=90と置いたときのT(8H)が求める値である。
8H = 8×60min = 8×60×60s = 28800s
T(28800) = (90 - 20)exp(-28800/25000) + 20
= 70 exp( - 1.152 ) + 20
ここでexpの計算をどうするかが問題です。
電卓を使って良い問題なのか，だめなのか。
電卓を使って良いなら，参考までに手元のExcelで計算すると
T(8H) = 42.12[度] となります。

合ってますかね。

[2] mixiユーザー 11月05日 21:28

お礼が遅くなり申し訳ありません！

電卓は使っていい問題でした。

ありがとうございました！

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