数学の質問＆宿題○投げ場コミュの確率です（急ぎです(汗)）

再び投稿すみません

分布関数と密度関数のところです

【1】Xは平均0で分散1の正規分布に従うとき、Y＝｜X｜の密度関数を求めよ。また、Yの平均と分散を求めよ。

【2】確率変数Xの分布関数Fは連続関数であるとする。Y＝F(X)で定義される確率変数Yは区間(0，1)上一様分布に従うことを示せ。

【3】Fを分布関数とし、確率変数Xは区間(0，1)上一様分布に従うとする。F^(-1)は次の通り定義されるFの逆関数とする。

F^(-1)(ｙ)＝inf｛x:F(x)≧y｝

このとき、確率変数Y=F^(-1)(X)の分布関数はFであることを示せ（この結果は任意の与えられた分布から疑似乱数を生成するのに実際に用いられるだろう）。

【4】ｳｨﾘｱﾑﾃﾙは弓で矢を射るのが大変下手である。実際に、彼は両方向に無限にのびたまっすぐな壁の上に小さなまだ青いリンゴを置く。そして標的リンゴに対して視線は壁と垂直になるように、リンゴから1パーチ(＝5.03m)ほど離れた場所を選ぶ。彼は360度の視界全体から一様にランダムに角度を選び、その方向に矢を射る。矢はどこかの壁に命中すると仮定するとき、矢が当たった場所とりんごとの(パーチではかった)水平距離の分布関数を求めよ。この日は風はないとする。

解き方がよくわからない状態で困ってます…できる範囲でいいので木曜までによろしくお願いします。。

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 07月07日 18:52

注というか答えです

【1】y＞0に対しfY(ｙ)=√(2/π)exp((-1/2)y^2)
　　√(2/π)と1-(2/π)

【2】F^(-1)=sup｛x:F(x)=y｝とする。P(F(X)≦y)を求めよ。

【3】0<F(y)<1を満たすyの値に対して、x≦F(y)であるための必要十分条件は、F^(-1)(x)≦yであることに注意せよ。

【4】この距離は0≦x＜∞に対して分布関数(2/π)tan^(-1)xを持つ。

[2] mixiユーザー 07月08日 12:28

【1】確率変数Xが標準正規分布に従うから,
Xの密度関数がp(x)=1/{2π}exp{-x^2/2}.
ある事象Aが起こる確率をP(A)と書くと,
x≧0のとき
P(|X|∈[x,x+dx))
=P(X∈[x,x+dx))+P(X∈[-(x+dx),-x))
=p(x)dx+p(-x)dx =2p(x)dx.
x<0のとき
P(|X|∈[x,x+dx))=0.
合わせて, |X|の密度関数を|p|(x)と書くと,
|p|(x)
=0 for x<0,
=2p(x) for x≧0.

分布が求められたのだから,
平均E[|X|]=∫_[0,∞]x 2p(x)dx および
分散V[|X|]=E[X^2]-E[|X|]^2 については
計算すれば直ちに求められます(よね？).

[3] mixiユーザー 07月08日 17:10

#2の訂正: 2行目において"√"が脱落しました.
誤: Xの密度関数がp(x)=1/{2π}exp{-x^2/2}.
正: Xの密度関数がp(x)=1/√{2π}exp{-x^2/2}.

[4] mixiユーザー 07月09日 07:48

> こんがら童子さん

ありがとうございます!!!!

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