確率の面白い問題コミュのランダムネスの定量？

?「N個の区画に無作為にｋ個の種を撒く時２個以上撒かれる区画がない確率を求めよ。但しN＞ｋ」

?「ある１本の棒をランダムに選んだ場所で切る。できた２本の棒のうち長い方を再びランダムに選んだ場所で切る。このようにして作った３本の棒切れを使って三角形を構成できる確率は？」

何方か教えてください。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 09月22日 20:22

?は普通に
P[N,k]/N^k=N!/((N-k)!N^k)

?
確率変数X,Yを
X:一回目に切って出来た棒の、より短いほう
Y:二回目に切って出来た棒の、右側
と定める。

まずxの密度関数f(x)を求める。
S:一回目に切って出来た棒の、右側
とすれば、これは一様分布U(0.1)に従い
P(X<x)=P(min(S,1-S)<x)=1-P(min(s,1-s)>x)=1-P(S>x、(1-S)>x)=1-P(x<S<1-x)
=1-∫[x,1-x]ds=1-((1-x)-x)=2x　(0<x<(1/2))
したがって
f(x)=dP(X<x)/dx=2　(0<x<(1/2))

次にX=xのもとでのyの条件付密度関数g(y|x)を求める。
P(Y<y|X=x)=y/(1-x)　(0<y<1-x)
であるので
g(y|x)=dP(Y<y|X=x)/dy=1/(1-x)　(0<y<1-x)

h(x,y)を(X,Y)の同時密度関数とすれば
g(y|x)=h(x,y)/f(x)
なので
h(x,y)=g(y|x)f(x)=2/(1-x)　(0<x<(1/2),0<y<1-x)

ここで、三角形が出来るための条件は
３辺A,B,Cに対して
A+B>C、B+C>A、C+A>B
の３不等式が成り立つことなので
x+y>1-x-y、y+(1-x-y)>x、(1-x-y)+x>y
つまり
0<x,y<(1/2)
x+y>(1/2)
（(x,y)=(0,1/2),(1/2,0),(1/2,1/2)を頂点とする三角形Tの内部）
したがって求める確率は
∫[三角形T]h(x,y)dxdy
=∫[0,1/2]2/(1-x)(∫[(1/2)-x,1]dy)dx
=∫[0,1/2](1-2x)/(1-x)dx
=∫[0,1/2]2-(1/(1-x))dx
=1-log(2)

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