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ある種の言明ははっきりと正しいかそうでないかが判定できる。そのような言明を, 論理学では命題 proposition と呼ぶ。そして正しい命題は真である true と呼ばれ, 正しくない命題は偽である false と呼ばれる。

命題の中には「A ならば B」という形をしたものがある。これを記号で A ⇒ B と書く。命題「A ⇒ B」は「もしも A であると仮定すればその時 B となる」という意味である。この命題は A が偽の時には無条件で真であると定める。 A が真で B が偽であるとすれば, その時のみこの命題は偽である (下記)。 A をこの命題の前件 antecedent, B のことを後件 succedent という。 (記号論理学の方面で例えば G?del の論文などでも, 論理学の記号として A ⇒ B のことを A ⊃ B と書くことがある。例えば「(『A ならば B』且つ A) ならば B」というのを (A ⊃ B) ∧ A ⇒ B と書く類。集合論の記号と紛らわしいので, この site では使わない。)

命題「A ⇒ B」が真である時 A を B である為の十分条件 sufficient condition といい, B を A であるための必要条件 necessary condition という。図式的に書けば

十分条件 ⇒ 必要条件

である。私の先生は「十分ある方から, 必要な方へと物は流れるのだ」と言って覚えさせた。

一般に A ⇒ B (これを順命題という) が真であっても, その逆命題 converse B ⇒ A が真であるとは限らない。例えば x = 0 ⇒ xy = 0 ではあるが, 逆に xy = 0 であるからといって, x = 0 とは限らない (例えば x = 1, y = 0)。

もしも A ⇒ B と, B ⇒ A が共に真であるならば A と B は同値 equivalent であるといわれ, A ⇔ B と書かれる。又, A と B は互いに他の必要十分条件 necessary and sufficient condition であるといわれる (完全条件 complete condition という用語もあるが, あまり用いられない)。

又, A の否定 negation, 即ち「A でない」を記号￢A で表す。この時, A ⇒ B に対し, 命題￢A ⇒ ￢B (A でないならば B でない) を元の命題の裏 converse of contrapositive という。逆と同様, 順命題が真であるからといって, その裏まで真とは限らない。しかし, 逆の裏, 即ち対偶 contraposition, contrapositive は必ず順命題と真偽が一致する。

何故なら, T で真である命題, F で偽である命題を表すとすれば (T ⇒ F のときだけ, 命題 A ⇒ B は偽であったことを思い出そう), ￢T = F, ￢F = T であるから

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/condition.htm

他の説明
http://www5b.biglobe.ne.jp/~suugaku/tyokkannsuugaku/tyokkann008.htm