位相幾何学（トポロジー）コミュのPoincare Dodecahedral Space について

はじめまして、天文学を学んでいる大学4年生です。

課題研究で宇宙論、特に時空のトポロジーについて研究していくことになったのですが、読んでいる論文(文章の最後にリンクを張っておきます)で分からない箇所があったので質問させてください。色々な文献を当たってみたのですが、どうしてもわからなかったので・・・

数学が専門ではないので、トポロジーについての理解もかなり浅いと思います。また、指導教官が非常に多忙な方で、ほぼ放置されている状態です。この論文も、研究を行っていく上で必要と感じたため自主的に読んでいます。まわりに質問できる人がいないため、このコミュで質問することにしました。よろしくお願いします。

Poincare Dodecahedral Spaceは、3次元球S^3をuniversal covering spaceとしていて、S^3に敷き詰められた120個の正12面体をすべて同一視(正12面体の向かい合う面を36度時計回りに回転して同一視)したものから成っている空間です。そのdiscrete fixed-point free groupが

\gamma_1 = j
\gamma_2 = \frac{\sigma}{2} + \frac{1}{2\sigma}i + \frac{1}{2}j

から生成されると上記の論文には書いてあります。ここで\gamma_1,2は4元数(=a+bi+cj+dk)です。また,\sigma=\frac{\sqrt{5}+1}{2}です。
これが何故そうなるのかわかりません。導出というよりは、確かにこれがそうなっている、という確認さえ出来れば満足なのですが、そもそもどうやって確認すればいいかもわかりません。

4次元空間内の3次元球S^3を極座標表示(\chi, \theta, \phi)したときの,正12面体の各頂点の座標が分かれば出来る気がするのですが・・・それもわからない状態です。

ここは数学としてのトポロジーを楽しんでいる人たちが集うコミュだと思うので、このような質問は失礼かもしれませんが、お許しください。どなたかよろしくお願いします。

論文へのリンクです。
http://jp.arxiv.org/abs/astro-ph/0412569

コメント(3)

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[2] mixiユーザー 05月08日 09:09

ご返信ありがとうございます。

\gamma_1, \gamma_2がbinary icosahedral group の生成元であるということは、正120胞体の600個の頂点がこれらの群で互いに移り合うとの理解でよろしいですか？

このサイト(http://mathworld.wolfram.com/120-Cell.html)によると,600個の頂点の4次元座標は次で与えられるようです。

(±2,±2,0,0)とその置換：24個
(±√5,±1,±1,±1)とその置換：64個
(±\phi^{-2},±\phi,±\phi,±\phi)とその置換：64個
(±\phi^2,±\phi^{-1},±\phi^{-1},±\phi^{-1})とその置換：64個
(±\phi^2,±\phi^{-2},±1,0)とその偶置換：96個
(±√5,±\phi^{-1},±\phi,0)とその偶置換：96個
(±2,±1,±\phi,±\phi^{-1})とその偶置換：192個
（\phi = \frac{√5 +1}{2}です。最初の書き込みとnotationが違っています。すみません。）

これらの頂点のいくつかに\gamma_1,\gamma_2を作用させてみたのですが、偶置換となるべきものが奇置換になってしまうことがあります。頂点は別の頂点に移るべきだと思うのですが・・・。

また、座標自体もwikipediaのものでは奇置換として定義されています。こちらもいくつか計算してみましたが、今度は奇置換となるはずのものが偶置換になってしまいました。

\gamma_1,\gamma_2の表現における座標の取り方が、上に書いた座標とは違っているということなのでしょうか。もう何が何だかわからなくなってきました・・・

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