算数パズルで論理的思考力を養うコミュの三角形の二辺に触れて戻る

初めてトピック立てさせていただきます。
このコミュにしては簡単な問題かもしれず恐縮なのですが、単純ならがなかなか解けず印象に残った問題なので書かせていただきます。

△ABCの内部に点Pがある。
点Pを出発し、辺AB、辺BCに触れて点Pに戻る最短ルートをコンパスと定規のみで作図しなさい。

コメント(36)

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[1] mixiユーザー 11月14日 03:40

上図の様に△ABCをコンパスで３つ描き、PはAとCからコンパスで距離をとる。
あとは直線（定規）で。
ただ、１つの三角形内ではないので、そこは未解決ですが。

[2] mixiユーザー 11月14日 09:45

>バーディーさん

この問題は、パズルというよりも高校受験数学の頻出問題なので、ちょっとコミュが違ったかも知れませんね。^_^;

添付の図はなんだかごちゃごちゃして分かりにくくなってしまったかも知れませんが、要するに、
１，辺ＡＢ、ＢＣに関してＰと対称な点を取る。
２，その２点を直線で結ぶ。
３，その直線がＡＢ、ＢＣと交わる点が、「最短ルートのポイント」です。

理由は分かりますよね。

[3] mixiユーザー 11月14日 12:58

「点P≒点B」である時、最短ルートが書けるんじゃないんですか？？

[8] mixiユーザー 11月15日 00:26

カエルさん

丁寧にご説明ありがとうございます。
私は算数しかできないので、
おっしゃるご説明は、上記私の図で、もとの三角形に上に１つ、
下にひとつ足したような感じかなと思いました。

[11] mixiユーザー 11月15日 00:39

>8 よっちゃんさん

お久しぶりです。

>私は算数しかできないので、

この言い訳はだめですよ～。^_^;

駒東を受験する生徒は、もっと難しい作図ができないと、受からないですよ～。^_^

[12] mixiユーザー 11月15日 00:42

そうですか

駒東の生徒持ったら、がんばります！
（最小限の努力でなんとか切り抜けている男より）

[15] mixiユーザー 11月15日 01:47

14 カエルさん

そうです。でも駒東志望の生徒は待ったことがありません。

[17] mixiユーザー 11月15日 06:04

>カエルさん

ご指摘ありがとうございます。
いやはや、そっちの意味でしたかぁ。

それでは、「点Pと点Bを直線で結ぶ」が解答ですね。
これが最短ルートです。

[20] mixiユーザー 11月15日 18:36

すみません。

私が２発言で、「理由は分かりますよね」と書いたのが、不親切だったようですね。

加えて、５発言でカエルさんが説明しているのも、まだ分かりにくいようです。
（このトピの流れを見ると、そのようですね。）

改めてもう少していねいにご説明します。

まず、添付の図１のような「ルート」を考えます。
これは「最短距離」でしょうか？

それを調べるには、図２のように、辺ＡＢ、ＢＣに関して、Ｐと対称の位置にある点Ｑ，Ｒをとります。
すると、Ｐから辺ＡＢ，ＢＣへの「経路」は、そのまま図２のように「Ｑから辺ＡＢ」「Ｒから辺ＢＣ」へ移動します。

これを見れば、この「ルート」が「最短距離」ではないことは明らかです。

では最短距離はと言えば、それは図３のように、ＱとＲを直線で結んだ「ルート」ですよね。

これを三角形ＡＢＣの内部に「戻す」には、図３のルートと辺ＡＢ，ＢＣの交点をＳ，Ｔとしておいて…、（続く）

[22] mixiユーザー 11月15日 18:45

図４のように、Ｐ，Ｓ，Ｔを結べばいいわけです。

これを作図する手順を示したのが、２発言の図です。

よっちゃんさんが１発言で示したように、△ＡＢＣそのものを対称移動させて、三角形の２点からの位置によってＱ，Ｒを作図するというのは、面白い方法ですけど、採点者から見て「どう作図したのか」が見えにくいかも知れません。

それ以上に、よっちゃんさんご自身が「未解決だ」と書いていらっしゃる通り、よっちゃんさんは「何のために点Ｐを移動させるのか」の意味が分かっていらっしゃらないご様子です。

もし受験生がこのような「人がやっていたのを見て、うろ覚えに覚えていたのを、真似して書いてみました」というような答案を提示したら、私が採点官だったら容赦なく減点するでしょう。

大切なのは、「なぜＰを移動させるのか」にあると思います。
それがきちんと理解できていれば「△ＡＢＣ内部に戻す」のも簡単ですし、「未解決」にはならないはずです。

[25] mixiユーザー 11月16日 04:14

>23 .humさん

私が２０発言で示した手順そのままで考えてみて下さい。

１，「あるルート」を適当に書く。
２，そのルートは「最短距離」になっているかな？と考える。
３，それを調べるためには…。と考えを進めて行く。

この手順が、一番分かりやすいと思いますよ。

[31] mixiユーザー 11月16日 12:43

>27 .humさん

>何となく三角形より直接の方が近い気がするんですけど
>点Bに真っ直ぐ行った方が近いように思えるんですが？
>気のせいですかね？

それが気のせいかどうかは、既に「確かめる方法」をお教えしましたので、ご自分で確認されたら良いでしょう。

このコミュの主旨はあくまでも「論理的思考力を養う」ことであって、「論理的思考方法を教わる」ことではありませんね。

「思考方法」をいくら教わっても、「思考力」は向上しませんよ。

人に聞く前に、自分で確認してみることです。

>点P次第では例外もあるように思えるんですけど

確かに例外はありますが、それはＰの位置ではなくて、∠ＡＢＣの大きさによってですね。

これも、実際に作図してみれば、「Ｂまで往復する」のが最短距離になるのは、∠Ｂが何度のときかは、すぐに分かりますよ。

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