変人の会コミュの三角関数

こんにちは

先週はろくに授業にも出ず、
くだらない計算にかなりの時間をかけてしまいました。

せっかくなのでその話を聞いてください。
また数学ネタで悪いのですが。

さて、何をやったのかというと、
三角関数を3°ごとに計算してみました。
結果は、

sin0°=0
sin3°=｛(√6+√2)(√5-1)-(√6-√2)√(10+2√5)｝/16
sin6°={√(30-6√5)-(√5+1)}/8
sin9°={(2√5+2)-√(20-4√5)}/8
sin12°={√(10+2√5)-(3√5-3)}/8
sin15°=(√6-√2)/4
sin18°=(√5-1)/4
sin21°={(√6+√2)√(10-2√5)-(√6-√2)(√5+1)}/16

　　　・
　　　・
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と、見るのも嫌になるような計算結果表が書けましたが、
これでは見にくすぎて駄目です。
そこで、頻繁に登場する以下の数値を省略して
アルファベット一文字で表すことで、
表記が非常に楽になりました。

l=1/2
m=√2/2
n=√3/2
x=(√6-√2)/4
y=(√6+√2)/4

a=√(√5-1)/2
b=√(√5+1)/2
c=√(aa+bb)=√(2√5)/2

（aaはaの2乗のことです。）

以上の省略記号を用いて表すと、
sinの値は以下の通りになります。

sin0°=0
sin3°=aay-bcx
sin6°=acn-bbl
sin9°=bbm-acm
sin12°=bcl-aan
sin15°=x
sin18°=aa
sin21°=acy-bbx
sin24°=bbn-acl
sin27°=bcm-aam
sin30°=l
sin33°=aay+bcx
sin36°=ac
sin39°=bby-acx
sin42°=bcn-aal
sin45°=m
sin48°=bcl+aan
sin51°=bbx+acy
sin54°=bb
sin57°=-aax+bcy
sin60°=n
sin63°=bcm+aam
sin66°=acn+bbl
sin69°=acx+bby
sin72°=bc
sin75°=y
sin78°=bcn+aal
sin81°=bbm+acm
sin84°=lac+bbn
sin87°=aax+bcy
sin90°=１

複雑な数値が、見事に整理されました。

いろいろ法則性が見えてきそうで楽しそうです(^ω^)

ちなみに、

l=1/2
m=√2/2
n=√3/2
x=(√6-√2)/4
y=(√6+√2)/4

これらの値が頻繁に登場するのは
比較的納得がいきます。

l=sin30°
m=sin45°
n=sin60°
x=sin15°
y=sin75°

であり、これらの値から加法定理を用いて他の値を算出しているからです。

では、なぜ

a=√(√5-1)/2
b=√(√5+1)/2
c=√(aa+bb)=√(2√5)/2

はこんなにも頻繁に登場するのでしょうか。
これらの値は一体どこから出てきたのでしょう。

今のところ、この問いに対しもっともらしい説明はできません。
私にとっては謎の数値です。

しかし、不思議なことを一つだけ発見しました。

なんと、a：bは黄金比になっているのです！

黄金比といえば数学や美術の様々な場面で目にする
1：(√5+1)/2のことですが、
まさかこんなところでも目にするとは！

これだから数学はやめられません(^ω^)

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 11月03日 20:34

自分で追撃。

(√x+1)/√(x-1)
が熱いかも。

x=2なら,　√2+1
x=3なら,　(√6+√2)/2　←三角比によく出てくる
x=4なら,　√3　　　　　←三角比によく出てくる
x=5なら,　(√5+1)/2　　←黄金比
x=6なら,　(√30+√5)/5
x=7なら,　(√42+√6)/6
x=8なら,　(2√14+√7)/7
x=9なら,　√2
x=10なら,　(√10+1)/3
x=11なら,　(√110+√10)/10
x=12なら,　(2√33+√11)/11

……いや、それほど熱くないかも。
頭冷やそう