変人の会コミュの循環小数

せっかくだから観察した結果を書いておく。

まず、1/2～1/17までの分数を小数で表示すると以下のようになる。
()は循環小数

1/2=0.5
1/3=0.(3)
1/4=0.25
1/5=0.2
1/6=0.1(6)
1/7=0.(142857)
1/8=0.125
1/9=0.(1)
1/10=0.1
1/11=0.(09)
1/12=0.08(3)
1/13=0.(076923)
1/14=0.0(714285)
1/15=0.0(6)
1/16=0.0625
1/17=0.(0588235294117647)

この中でまずは、

1/7=0.(142857)
1/17=0.(0588235294117647)

に注目してみた。
これらの循環小数は三つの点において性質が似ている。

一つ目は、循環する桁数が左辺の分母から1を引いた数(それぞれ6桁、16桁)であること。（性質1）

1/7=0.(142857)←6桁
1/17=0.(0588235294117647)←16桁

二つ目は、分子を変えても全く同じ配列の循環小数が現れること。（性質2）

1/7=0.(142857)
2/7= 0.(285714)
3/7= 0.(428571)
4/7= 0.(571428)
5/7= 0.(714285)
6/7= 0.(857142)
7/7=1.0

三つ目は、循環部分の数字を真ん中で切って足すと9の羅列が現れること。（性質3）

例えば、
1/7については、142+857=999、
1/17については05882352+94117647=99999999、
という具合に。

その次に、
1/13=0.(076923)

に注目した。
この循環小数は1/7や1/17と似た性質を持っているが、やや異なる性質を持っている。

性質1について、1/13の循環部分の桁数は、分母から1引いた数(12)の半分(6桁)になっている。

性質2について、1/13の分子を変えると、循環小数は2種類が出現する。

1/13=0.(076923)
3/13= 0.(230769)
4/13= 0.(307692)
9/13= 0.(692307)
10/13=0.(769230)
12/13= 0.(923076)

2/13=0.(153846)
5/13= 0.(384615)
6/13= 0.(461538)
7/13= 0.(538461)
8/13= 0.(615384)
11/13= 0.(846153)

性質3については、同様に成り立つ。

1/13=0.(076923)
076+923=999
2/13=0.(153846)
153+846=999

ふう、疲れた。

そして、これらの性質を考える上で10進法の呪縛から逃れないといけないと思い、16進法の循環小数を計算してしまったことが更なる疲れの原因だった。

1/2=0.8
1/3=0.(5)
1/4=0.4
1/5=0.(3)
1/6=0.2(A)
1/7=0.(249)
1/8=0.2
1/9=0.(1C7)
1/A=0.1(9)
1/B=0.(1745D)
1/C=0.1(5)
1/D=0.(13B)
1/E=0.1(249)
1/F=0.(1)
1/10=0.1
1/11=0.(0F)
1/12=0.0(E38)
1/13=0.(0D79435E5)

全て手計算で出したので間違ってても分からない。
一旦家に帰ってPCに頼るべきだった。
まあそれはいいとして、いくつかのことが分かった。

(1)まず、10進法の1/7や1/17に見られたような性質1.2.3は16進法ではどこにも見られなかった。

(2)ただ、10進法にも16進法にも共通した性質として、循環部分の桁数は必ず(分母-1)の約数だった。

この辺で昨日の考察は終了した。

今後は以下の方針で考察を続けたいと思う。
(1)16進法は計算に手間がかかりすぎるので、しばらくは10進法のみを考察対象とする。
(2)分母が素数のときのみを観察対象とする。
(3)他にやるべきことがあるときにはそちらを優先する。←重要

以上

さて、勉強に戻ろう。

コメント(1)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 05月23日 12:14

といいつつまだやってた。
今日は今度こそこれで終わり！！

分数表示循環部分
桁数...足して９判定

1/3 3
2/3 6
1...x

1/7 142857
6...ok

1/11 09
2/11 18
3/11 27
4/11 36
5/11 45
2...ok

1/13 076923
2/13 153846
6...ok

1/17 0588235294117647
16...ok

1/19 052631578947368421
18...ok

1/21 047619 6...x
2/21 095238 6...x
3/21 142857 6...ok
7/21 3 1...x
14/21 6 1...x

1/23 0434782608695652173913
22...ok

1/29 0344827586206896551724137931
28...ok

1/31 032258064516129
3/31 096774193548387
15...x

1/37 027
2/37 054
3/37 081
5/37 135
6/37 162
7/37 189
9/37 243
11/37 297
14/37 378
17/37 459
18/37 486
21/37 567
3...x

1/39 025641 6...x
2/39 051282 6...x
3/39 076923 6...ok
6/39 153846 6...ok
7/39 179487 6...x
13/39 3 1...x
14/39 358974 6...x
26/39 6 1...x

1/41 02439
2/41 04878
3/41 07317
4/41 09756
5/41 12195
6/41 14634
12/41 26829
16/41 36585
5...x

1/43 023255813953488372093
2/43 046511627906976744186
21...x

1/47 0212765957446808510638297872340425531914893617
46...ok

1/49 020408163265306122448979591836734693877551
7/49 142857
42...ok
6...ok

1/51 0196078431372549 16...x
2/51 0392156862745098 16...x
3/51 0588235294117647 16...ok
17/51 3 1...x
34/51 6 1...x

1/53 0188679245283
2/53 0377358490566
4/53 0754716981132
5/53 0943396226415
13...x

1/57 017543859649122807 18...x
2/57 035087719298245614 18...x
3/57 052631578947368421 18...ok
19/57 3 1...x
38/57 6 1...x

1/59

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
58...ok

1/61

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
60...ok

1/63 015873 6...x
2/63 031746 6...x
3/63 047619 6...x
4/63 063492 6...x
5/63 079365 6...x
6/63 095238 6...x
7/63 1 1...x
8/63 126984 6...x
9/63 142857 6...ok
14/63 2 1...x
16/63 253968 6...x
21/63 3 1...x
28/63 4 1...x
35/63 5 1...x
42/63 6 1...x
49/63 7 1...x
56/63 8 1...x

1/67 014925373134328358208955223880597
2/67 029850746268656716417910447761194
33...x

1/71 01408450704225352112676056338028169
7/71 09859154929577464788732394366197183
35...x

1/73 01369863 8...ok
2/73 02739726 8...ok
3/73 04109589 8...ok
4/73 05479452 8...ok
5/73 06849315 8...ok
6/73 08219178 8...ok
9/73 12328767 8...ok
12/73 16438356 8...ok
18/73 24657534 8...ok

やっぱ素数が面白い。

さ、勉強勉強。。。

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ