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（数学）等差素数列に関する考察

mixiユーザー 2008年10月07日 12:25

Ｐを素数の集合、A_{p,d,n}={p,p+d,p+2d,・・・,p+(n-1)d}とします。

n>2に対して、A_{p､d､n}⊂Ｐであるp,dを考えたい。

コメント(10)

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[1] mixiユーザー 10月07日 11:14

正整数ｋに対して、ｋ＃を次により定義します。

k#=Π(p:素数,p≦k)

[2] mixiユーザー 10月07日 11:52

定理１　n≦p

で次の予想を提起したい。

予想　素数pに対して、max{n:A_{p,d,n}⊂Ｐ}=p。

[3] mixiユーザー 10月07日 12:06

少し別のアプローチから。

∀ε>0, ∀k≧2, ∃N s.t. ∀n≧N, 「S⊆{1,2,・・・,n}かつ#S≦εn ⇒ Sはk項からなる等差数列を含む。」

について、εに対してN=N(ε)がうまく評価できれば素数でも大丈夫なことが分かります。

[4] mixiユーザー 10月07日 13:00

> 3 きりさん

アルキメデスの原理の応用ですね。Ｓ⊂Ｐが成り立つようにできるかどうかが問題ですが、実際にはかなり難儀だと思います。

予想についてですが、実際に計算してみると、

A_{3,2,3}⊂Ｐ
A_{5,6,5}⊂Ｐ
A_{7,150,7}⊂Ｐ

という例はあります。ところがpが11となると、dをかなり大きくとってもなかなかA_{11,d,11}⊂Ｐなるdは、いまだ発見できていないという状況です。

そこで、A_{p,d,n}⊂Ｐが成立する場合の最低限の条件を考えて、次の定理になった。

定理２ A_{p,d,n}⊂Ｐならば、
(1)　dは(n-1)#の倍数である。
(2)　n＜pならば、dは(n')#の倍数である。ただし、n'はn以上の最小の素とする。

[5] mixiユーザー 10月07日 14:07

定理２の(2)の反例が出てきたので、修正します。

定理２ A_{p,d,n}⊂Ｐならば、
(1)　dはn#の倍数である。
(2)　n＜pならば、dはn#の倍数である。

[6] mixiユーザー 10月07日 16:56

webを探ってみたら

http://www.takeda-foundation.jp/cafe2005/cafe_rep_200609_p02.html

と言うところを見つけました。

[7] mixiユーザー 10月07日 17:03

なるほど、予想通りでしたね。

しかし、証明法が書いてないのでよく分かりませんが、おそらく上の方法を使っているのではないかと思います。

[8] mixiユーザー 10月07日 21:31

論文がｗｅｂ上にありました。

http://arxiv.org/abs/math.NT/0404188

[9] mixiユーザー 10月07日 22:01

もう一つｕｒｌを紹介します。

http://hjem.get2net.dk/jka/math/aprecords.htm

[10] mixiユーザー 10月09日 07:41

論文を読むと解析学の言葉が出てくる、しかも半端ではない。難解である。

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