Ｐｒｏｊｅｃｔ　Ｍコミュの（数学）ゼータ関数

ゼータ関数に関して、諸々の事象を書いていくトピックです。

コメント(6)

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まず日記に書いたことのレビューです。

ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+･･･

ζ(s)-1=1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+･･･

f(x)=?[k=2,∞]{(ζ(k)-1)x^k}=?[k=2,∞]{x^2/((k-x)k)}=)=x*∫[0,1]{(t-t^(1-x))/(t-1)}dt

ζ(2)=∫[0，1]{logt/(t-1)}dt
ζ(n)=∫[-∞，0]{u^(n-1)/(n-1)!/(e^u-1)}du

から、

ζ(s)Γ(s)=∫[0,∞]{u^(s-1)/(e^u-1)}du

[2] mixiユーザー 08月07日 11:21

Let s[n]=s+(n-1)*t with n>0,Re(s)>1 and Re(t)>0.

Then |?[n=1,∞]{ζ(s[n])}|<∞

[3] mixiユーザー 08月07日 11:50

間違えた

Let s[n]=s+(n-1)*t with n>0,Re(s)>1 and Re(t)>0.

Then |?[n=1,∞]{ζ(s[n])-1}|<∞

ですね＞＜

[4] mixiユーザー 08月10日 22:17

面白い式を見つけた（これは、自分で見つけたという意味ではないです＾＾）ので紹介します。

∫[0,1]x^(-x) = Σ[n=1,∞]n^(-n)

知ってる方がいるかもしれません。

[5] mixiユーザー 09月01日 13:00

ζ(s)とΓ(s)は深い関係であるようなので、Γ(s)に寄り道してみる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0

に記述の定義式を書き出してみる。

Re(s)>１に対して、

Γ(s)=∫[0,∞]{u^(s-1)*e^(-u)}du

これから、Re(s)>１に対して、

ζ(s)Γ(s)=∫[0,∞]{u^(s-1)/(e^u-1)}du

を証明できるようである。(松本耕二著「リーマンのゼータ関数」による）

(Proof)
Let Re(s)>1.
Γ(s)=∫[0,∞]{u^(s-1)*e^(-u)}du

Let u=nt for n∈Ｎ,then

Γ(s)=n^s*∫[0,∞]{u^(s-1)*e^(-nu)}du,

Γ(s)/n^s=∫[0,∞]{u^(s-1)*e^(-nu)}du.

So

ζ(s)Γ(s)=∫[0,∞]{u^(s-1)*Σ[n=1,∞]{e^(-nu)}}du
=∫[0,∞]{u^(s-1)/(e^u-1)}du.

(End of proof)

[6] mixiユーザー 09月02日 12:05

参考にすべきurlです。

Γ関数：
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

ζ関数：
http://mathworld.wolfram.com/topics/RiemannZetaFunction.html

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