Ｐｒｏｊｅｃｔ　Ｍコミュの（プロジェクト）　漸化式から一般項を求める

数列の漸化式から一般項を与えるテクニックを書いてみたいと思い立ったので、唐突に開始してみる。

TEXの数式表現により、数式を表すことにします。

コメント(10)

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基本からいきます。

a\ne0を定数として漸化式が、a_{n+1}=a*a_{n}のとき、

-------------------------------------------------

\frac{a_{n+1}}{a^{n+1}}=\frac{a_{n}}{a^{n}}

であることを利用して、ＭＩにより

\frac{a_{n}}{a^{n}}=\frac{a_{0}}{a^{0}}=a_{0}

が成立するので、

a_{n}=a_{0}*a^{n}

[2] mixiユーザー 01月06日 22:22

a\ne0を定数として漸化式が、a_{n+1}=a_{n}+aのとき、

-------------------------------------------------

a_{n}-a_{n-1}=a

であることを利用して、ＭＩにより

a_{n}-a_{0}=a*n

が成立するので、

a_{n}=+a*n+a_{0}

[3] mixiユーザー 01月07日 15:15

a\ne0を定数として漸化式が、a_{n+1}=a_{n}+nのとき、

-------------------------------------------------

n=\frac{n*(n+1)}{2}-\frac{(n-1)*n}{2}

であることを利用して、

b_{n}=a{n}-\frac{(n-1)*n}{2}

とおくと、元の漸化式は、

b_{n+1}=a{n+1}-\frac{n*(n+1)}{2}=a{n}+n-\frac{n*(n+1)}{2}=a{n}-\frac{(n-1)*n}{2}=b_{n}

となるから、

b_{n}=b_{n-1}

が成立するので、ＭＩにより、

a_{n}-\frac{(n-1)*n}{2}=b_{n}=b_{0}=a_{0}

が成立するので、

a_{n}=\frac{(n-1)*n}{2}+a_{0}

[4] mixiユーザー 01月08日 20:53

$a$を$a\ne0,1$なる定数として漸化式が、$a_{n+1}=a_{n}+a^n$のとき、

-------------------------------------------------

$\frac{a^{n+1}-1}{a-1}-a^{n}=\frac{a^{n+1}-1-a^{n}*(a-1)}{a-1}=\frac{a^{n}-1}{a-1}$

であることを利用して、

$b_{n}=a_{n}-\frac{a^{n}-1}{a-1} $

とおくと、元の漸化式は、

$b_{n+1}=a_{n+1}-\frac{a^{n+1}-1}{a-1}=a_{n}+a^{n}-\frac{a^{n+1}-1}{a-1}=a_{n}-\frac{a^{n}-1}{a-1}=b_{n} $

となるから、

$b_{n}=b_{n-1}$

が成立するので、ＭＩにより、

$a_{n}-\frac{a^{n}-1}{a-1}=b_{n}=b_{0}=a_{0}$

から、

$a_{n}=\frac{a^{n}-1}{a-1}+a_{0}$

[5] mixiユーザー 01月12日 22:02

$k\in\mathbb{N}$を$k>1$なる定数として漸化式が、

$a_{n+1}=a_{n}+(n+1)n$

のとき、

-------------------------------------------------

$(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)=3(n+1)n$

であることを利用して、

$b_{n}=a_{n}-\frac{(n+1)n(n-1)}{3} $

とおくと、元の漸化式は、

$b_{n+1}=a_{n+1}-\frac{(n+2)(n+1)n}{3}$
$=a_{n}+(n+1)n-\frac{(n+2)(n+1)n}{3}$
$=a_{n}-\frac{(n+1)n(n-1)}{3} =b_{n} $

となるから、

$b_{n}=b_{n-1}$

が成立するので、ＭＩにより、

$a_{n}=b_{n}+\frac{(n+1)n(n-1)}{3}$
$=b_{n}+\frac{(n+1)n(n-1)}{3}$
$=b_{0}+\frac{(n+1)n(n-1)}{3}$
$=a_{0}+\frac{(n+1)n(n-1)}{3}$

---------------------------------------------------------
[1] http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=249886
[2] http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=249888
[3] http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=250047
[4] http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=249859
[5] http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=250799

[6] mixiユーザー 01月14日 01:14

$k\in\mathbb{N}$　を　$k\ge1$　なる定数とし、$G_{k}: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$　を、

$G_{k}(x) = \prod_{i = 0}^{k - 1}{(x + i)}=x(x+1)\cdots(x+k-1)$

と定義する。このとき、 $n\in\mathbb{N}$　に対して、

$G_{k + 1}(n + 1) - G_{k + 1}(n)$

$= \prod_{i = 0}^{k}{(n + 1 + i)} - \prod_{i = 0}^{k}{(n + i)$

$= (n + 1 + k)\cdot\prod_{i = 0}^{k - 1}{(n + 1 + i)} - n\cdot\prod_{i = 1}^{k}{(n + i)$

$= (n + 1 + k)\cdot\prod_{i = 0}^{k - 1}{(n + 1 + i)} - n\cdot\prod_{i = 0}^{k - 1}{(n + 1 + i)$

$= ((n + 1 + k) - n)\cdos\prod_{i = 0}^{k - 1}{(n + 1 + i)}$

$= (k + 1)\cdot G_{k}(n + 1)$

---------------------------------------------------------

[6] http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=250958

[7] mixiユーザー 01月14日 09:59

$\frac{G_{k+1}(n)-G_{k+1}(n-1)}{k+1}=G_{k}(n)$

を利用すると、$k\ge1$のとき

$\ \frac{G_{k+1}(n)}{k+1}$

$=\frac{G_{k+1}(n)-G_{k+1}(0)}{k+1}$

$=\sum_{i=1}^{n}{\frac{G_{k+1}(i)-G_{k+1}(i-1)}{k+1}}$

$=\sum_{i=1}^{n}{G_{k}(i)}$

を得ることになる。

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http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=251119

[8] mixiユーザー 01月14日 17:47

$G_{k}(x)$を使った例として、

$a_{n} = a_{n - 1} + n^{3}$

の一般項を考えてみる。

$n^{3} = c_3*G_{3}(n) + c_2*G_{2}(n) + c_1*G_{1}(n)$

を満たす、$c_1,c_2,c_3$を求めてみる。

$n^{3} = c_3*n*(n + 1)*(n + 2) + c_2*n*(n + 1) + c_1*n$

最高次の係数を比較して$1 = c_3$、
$n = - 1$とすると、$- 1 = - c_1$、
$n = - 2$とすると、$- 8 = 2*c_2 - 2*c_1$、

したがって、$c_1 = 1,c_2 = - 3,c_3 = 1$から、

$n^{3} = G_{3}(n) - 3*G_{2}(n) + G_{1}(n)$

$a_{n} = a_{n - 1} + G_{3}(n) - 3*G_{2}(n) + G_{1}(n)$

$b_{n} = a_{n} - \frac {G_{4}(n)}{4} + G_{3}(n) - \frac {G_{2}(n)}{2}$

とおくと、ＭＩにより

$b_{n} = b_{n - 1} = \cdots = b_{2} = b_{1} = b_{0} = a_{0}$

$a_{n} = \frac {G_{4}(n)}{4} - G_{3}(n) + \frac {G_{2}(n)}{2} + a_{0}$

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http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=251236

[9] mixiユーザー 01月19日 10:41

$x_1,x_2$を異なる定数として漸化式が、

$a_{n + 2} - (x_1 + x_2)a_{n + 1} + x_1x_2a_{n} = 0$

あるいは

$a_{n + 2} = (x_1 + x_2)a_{n + 1} - x_1x_2a_{n}$

で、与えられるとき

-------------------------------------------------

$x_1 \ne x_2$であるので$x_1 \ne 0$としても一般性を損なわない。そこで与式は、

$a_{n + 2} - x_1a_{n + 1} = x_2(a_{n + 1} - x_1a_{n})$

と変形できるので、

$a_{n + 1} - x_1a_{n} = x_2^{n}(a_{1} - x_1a_{0})$

$\frac {a_{n + 1}}{x_1^{n + 1}} - \frac {a_{n}}{x_1^{n}} = (\frac {x_2}{x_1})^{n}(a_{1} - x_1a_{0})$

から、

$\frac {a_{n}}{x_1^{n}} = \frac {(\frac {x_2}{x_1})^{n} - 1}{\frac {x_2}{x_1} - 1}(a_{1} - x_1a_{0}) + a_{0}$

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$x_1,x_2$は、２次方程式$t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1x_2 = 0$の２根であることを注意したい。
逆に、$a_{n + 2} = Aa_{n + 1} - Ba_{n}$で与えられる漸化式は、２次方程式$t^2 - At + B = 0$の２根を
$x_1,x_2$とおくことにより、$x_1 \ne x_2$であれば、この方法により一般項を求めることが可能である。
$x_1 \ne 0$という前提で書いたが、これは省略することができる。これを次に書くことにしたい。

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http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=251520

[10] mixiユーザー 01月21日 08:58

$x_1,x_2$を異なる定数として漸化式が、

$a_{n + 2} - (x_1 + x_2)a_{n + 1} + x_1x_2a_{n} = 0$

あるいは

$a_{n + 2} = (x_1 + x_2)a_{n + 1} - x_1x_2a_{n}$

で、与えられるとき

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与えられた漸化式を次のように変形する：

$a_{n + 2} - x_1 a_{n + 1} = x_2 (a_{n + 1} - x_1 a_{n})$

とすると、ＭＩにより

(A)　　$a_{n + 1} - x_1 a_{n} = x_2^{n} (a_{1} - x_1 a_{0})$

を得る。与えられた漸化式は、$x_1,x_2$について対称であることを利用して、

(B)　　$a_{n + 1} - x_2 a_{n} = x_1^{n} (a_{1} - x_2 a_{0})$

を得るので、$(A) - (B)$を考えることにより、

$(x_2 - x_1) a_{n} = x_2^{n} (a_{1} - x_1 a_{0}) - x_1^{n} (a_{1} - x_2 a_{0})$

$a_{n} = \frac {x_2^{n} (a_{1} - x_1 a_{0}) - x_1^{n} (a_{1} - x_2 a_{0})}{x_2 - x_1}$

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http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=252576

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