中学数学の裏技コミュの定理

△ＡＢＣでＢＣの中点をＭとし、
∠ＡＢＭ：∠ＡＣＢ＝nx:x 、
∠ＡＭＢ＝(180/(n+1))
のとき
Mは△ABCの外接円の中心
である。

証明せよ。

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△ＡＢＣでＢＣの中点をＭとし、
∠ＡＢＭ：∠ＡＣＢ＝nx:x
のとき、
∠ＡＭＢ＝(180/(n+1))
である。
上記だと、
たとえば、２０，４０のとき、
（180/(n+1))＝５２．１２２
となり６０度じゃない。つまり
（180/(n+1))が成り立たない。

なので、
nx+x=90°
という条件を付ける。
しかし、これだと、
外接円上にあることが明らかになってしまう。

なので上記のようにする。

コメント(5)

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[2] mixiユーザー 11月06日 02:01

証明するのでしょうか？
考えてみました…

Mを外接円の中心と仮定すると、
円周角と中心角の関係より
x=90/(n+1),nx=90n/(n+1)
よって、
x+nx=90…?
また仮定より
∠A＝180-(x+nx)…?
であるから?、?より∠A＝90
よってBCを直径とする円周上に点Aは存在する。
よってMは外接円の中心である。

[3] mixiユーザー 11月20日 01:19

自分で考えて間違いに気がついた。
間違ってるな上の証明。

円周角使った時点で、点Aが円周上にあることが分ってしまってるからな。
残念。

[5] mixiユーザー 11月20日 08:23

その条件だと
∠Ｂ＝nx
∠Ｃ＝x
∠ＡＭＢ＝180/(n＋1)
を満たす形が限られてくるので、逆についてなら成り立つことから考えました。

〈命題〉
三角形ＡＢＣが辺ＢＣの中点Ｍを中心とする外接円を持ち、∠ＡＭＢ＝180ﾟ/(ｎ＋１)ならば、∠Ｂ：∠Ｃ＝ｎ：１である。

〈証明〉
仮定より
三角形ＡＭＢと三角形ＡＭＣは二等辺三角形

三角形の２つの内角の和は、残りの角の外角と等しいので、

∠Ｃ＋∠ＭＡＣ
＝２∠Ｃ
＝180/(n＋1)
∴∠Ｃ＝90/(n＋1)

同様に
２∠Ｂ＝180－180/(n＋1)∴∠Ｂ＝90n/(n＋1)

よって
∠Ｂ：∠Ｃ
＝90n/(n＋1)：90/(n＋1)
＝n：1

以上より
∠Ｂ＝nx
∠Ｃ＝x
∠ＡＭＢ＝180/(n＋1)
を満たす三角形ＡＢＣについて、この定理が成り立つと思います。

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