中学数学の裏技コミュの変化の割合

はじめまして☆
僕は、塾講師のバイトをしていますが、その時に生徒から指摘されたテクニックを紹介します(^-^)v

それは中学3年生で習うy＝ax^2の変化の割合を求める問題。

普通、
変化の割合＝yの増分/xの増分…?@
という公式を使いますね。
それをこの公式を使わず、また簡単に求められる方法があるんです。

y＝ax^2で、xがpからqまで増加したときの変化の割合はa(p＋q)…?A

例:y＝2x^2で、xが－6から－2まで増加したときの変化の割合は
2{－6＋(－2)}
＝－16

これを?@の方法でやってみると答が一致していることがわかりますね。

この謎、解けそうで解けません(>_<｡)
何故?Aが成り立つのでしょう？教えてくださいm(__)m

コメント(16)

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[1] mixiユーザー 03月31日 11:26

別のトピック(裏技・テクニック……)で示しました。参考にして下さい。

[2] mixiユーザー 04月07日 13:28

y＝ax^2で、xがpからqまで増加したときの変化の割合はa(p＋q)を示します。

y=ax^2 で
?x＝q-p
?y＝aq^2-ap^2=a(q^2-p^2)=a(q+p)(q-p)
ですので、
?y/?x = (a(q+p)(q-p))/(q-p)=a(q+p)

となります。
なるほど。面白いですね。
覚えておくとよいですね。
ありがとうございます。

[3] mixiユーザー 09月19日 02:35

古いトピに口挟んでしまいます！

＞生徒から指摘されたテクニック
＞a(p＋q)
これは、講師として事前に知っておくべき必須事項では？
目の前の問題を解くだけが勉強、と生徒に錯覚されかねません。
もちろん、a(p＋q)を知っていて「おー、すごいね！発見だ！！」って盛り上げるならいいですけど、知らないのはいかがなものでしょう？
他の単元・領域にもきっとありますよね、こーゆーの。

できれば、「これだけは伝えたい！」的な場として活用したいですね！！

[4] mixiユーザー 09月19日 02:49

学校の先生も教えている先生もいらっしゃいます。
ちなみにこの公式を利用して
y=ax^2に直線が交わっていて交点がp,qだとすると、
その直線式は
y=a(p+q)x-apqになります。傾きが交点のx座標の和にaをかけたもの切片は交点のx座標の積にaをかけて更に符号をひっくり返す。

和と積の形を使った公式は覚えやすいので重宝します。

ただ、僕はこの式の証明が僕と一緒に出来る（ただ文字をぶち込むだけですが）レベルの生徒にしか教えませんが。

[5] mixiユーザー 09月19日 02:51

すいません既出でした（汗）

[6] mixiユーザー 09月19日 03:15

お恥ずかしいので、一つ２乗に比例する関数の単元の公式を。
放物線y=ax^2上に異なる３点ＡＢＣを取り作った三角形ＡＢＣの面積は
a×「ＡＢ間Ｘ座標の差」×「ＢＣ間Ｘ座標の差」×「ＡＣ間Ｘ座標の差」×1/2
になります。
この手の公式いかにＹ座標を出させないかですよね。

[7] mixiユーザー 09月19日 10:13

AJOAさん、こんにちは！
６は初耳です、恥ずかしいけど、これから自分の発見として使います！
Ｘ座標だけでいけるってかっこいいですね！

[8] mixiユーザー 09月20日 00:14

長方形から三角形三つを引いた残りという方針で証明すればいいんですかね？

y=ax^2上の点のｙ座標がaq^2の形になるので、
A^2-B^2=(A+B)(A-B)とできたりすることが、ｘ座標だけで表せる理由に関係しているんですかね…？

時間があるとき証明にチャレンジしてみてもいいかな…。
なんか計算式がめんどくさくてできないかも。

[10] mixiユーザー 09月20日 02:11

6を考えてみました。きれいな式ですね。
証明をヒントの形で残しておきます。
proof)
y=ax^2上にx座標が小さい順にA,B,Cとする。
またそれぞれの座標を・・・これは好きなように置いてください。
ここで三角形の面積をSとして
　　　　 →　→
S=1/2AB×AC (外積を知ってるものとします）
よりちゃんと座標を用いて計算すると
S=1/2[( )( )^2-( )^2( )}
S=1/2{( )( )( )-( )( )( )}
・・・
1/2×a×「ＡＢ間Ｘ座標の差」×「ＢＣ間Ｘ座標の差」×「ＡＣ間Ｘ座標の差」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

ちゃんとペンと紙で図を描いて確認しましょう！

[11] mixiユーザー 09月20日 02:13

すいません
S=1/2[( )( )^2-( )^2( )}
の部分は間違いです
S=1/2{( )( )-( )( )}
が正しいです。

[12] mixiユーザー 09月20日 02:38

めつさん
一般的な中学生で外積知ってます？

８で過去の人さんが言われてる方法で、やってみました。
で、公立中学の上位クラスの生徒に、因数分解の復習でチャレンジさせたいと思いました。証明できたら使っていいよ、みたいな感じです。

それにしても、めつさんも言われてますが、きれいな式ですね。

[13] mixiユーザー 09月20日 03:04

中学生に教えるときは、等積変形で頂点をＹ軸にずらして、文字を代入していきます。ｙ切片はy=a(p+q)x-apqを知っていると多少立式は軽減されます。後は力ずく。

この手の三角形で実際の数値が入っている奴を、等積変形ではなく、台形や長方形で囲わないと出せないレベルにはこの公式は絶対教えません。

で、証明した後に、
エー（比例定数）、ぴょんぴょんぴょーーーーん、バン（これ１/２の意味）といいながら板書します。

[14] mixiユーザー 09月20日 03:28

AJOAさん、ありがとうございます。
やってみました。
固い頭が、柔らかくなった気がします