・互いに素であるピタゴラス数（直角三角形をなす自然数の３つ組）の斜辺の数は、必ず「４で割って１余る数」である。
・「４で割って１余る素数」は２つの「平方数」の和で表せる（x^2+y^2）。
・奇数の２乗は「８で割って１余る数」である。
・「８で割って１余る素数」は３つの「平方数」の和で表せる(x^2+y^2+y^2)。
・すべての自然数は高々４つの「平方数」の和で表せる（ただし、０を含む）。
・「1から連続した2ｎ個の自然数の和」に等しい数から始まる（n/2＋1）個の平方数の和は、それに連続するn/2個の平方数の和に等しい。
・実数部を持たない純虚四元数αとβの積は、α、βを3次元実ベクトルとみなして、αβ＝−α・β＋α×β のように、ベクトルの内積と外積で表現できる。
・「４で割って１余る素数」は２つの「平方数」の和で表せる（x^2+y^2）。
・奇数の２乗は「８で割って１余る数」である。
・「８で割って１余る素数」は３つの「平方数」の和で表せる(x^2+y^2+y^2)。
・すべての自然数は高々４つの「平方数」の和で表せる（ただし、０を含む）。
・「1から連続した2ｎ個の自然数の和」に等しい数から始まる（n/2＋1）個の平方数の和は、それに連続するn/2個の平方数の和に等しい。
・実数部を持たない純虚四元数αとβの積は、α、βを3次元実ベクトルとみなして、αβ＝−α・β＋α×β のように、ベクトルの内積と外積で表現できる。
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コメント(5)
数学の世界に「虚数」の概念が持ち込まれたことは歴史上非常に画期的な出来事だったと思います。高校のとき、「実数はどんな数でも２乗すれば正の実数になる」ということを前提とした上で、「２乗して−１となる数」として「虚数単位」が持ち込まれたときはなんかピンと来なかったのを思い出します。虚数および複素数のイメージがなんとなくイメージできるようになったのは、やはり「ガウス平面」（複素数平面）上で複素数が表現されたときだったと思います。この表現というのは結局「ピタゴラスの定理」の応用の一種ですが、その「ピタゴラスの定理」の拡張版として数多くの「平方数の和」に関する定理や公式を目撃します。その方向に、複素数を超えた複素数である「超複素数」として、「四元数」（ハミルトン数）や「八元数」（ケーリー数）が登場するわけです。
複素数ではまだあまり意識との関連は見い出しにくそうですが、四元数になると自然界が持つ「捩れの構造」が浮き彫りになってきます。四元数は複素数までの数の拡張とは違って、「交換法則」が成り立ちません。さらに、八元数になると「結合法則」すら成り立たなくなります。意識の連続性というのは、「線型」と呼ばれる数学的な性質と関係しているように思うのですが、この「線型」「非線型」と関わってきそうなものがこの四元数や八元数のような気がするのです。「連続」と「離散」に関するヒントもここにあるのかもしれません。
というわけで、今回こんないくつかの数の性質を採り上げてみました。
複素数ではまだあまり意識との関連は見い出しにくそうですが、四元数になると自然界が持つ「捩れの構造」が浮き彫りになってきます。四元数は複素数までの数の拡張とは違って、「交換法則」が成り立ちません。さらに、八元数になると「結合法則」すら成り立たなくなります。意識の連続性というのは、「線型」と呼ばれる数学的な性質と関係しているように思うのですが、この「線型」「非線型」と関わってきそうなものがこの四元数や八元数のような気がするのです。「連続」と「離散」に関するヒントもここにあるのかもしれません。
というわけで、今回こんないくつかの数の性質を採り上げてみました。
ふうさん、こんばんは。
どれも一言では説明できない、とっても難しい、かなり数学的なご質問ですね（汗）。
xy平面とは「実2次元平面」のことをおっしゃられていると思います。一方「複素平面」とおっしゃられているのは「複素1次元」を表現するための「複素数平面」だと思います。確かにどちらも、見かけ上は「実2次元平面」です。
ただ、複素数を変数とし、複素数に値をとる「複素関数」と呼ばれるものを扱うときには、いろいろ厄介なことがあります。実数では容易に微分できた関数でも、複素数では必ずしも微分できない状況も出て来るからです。詳しくは「複素関数論」を理解する必要が出てきます。「複素平面」（複素2次元）ではなく、「複素数平面」（複素1次元）上であくまで関数を実関数として扱うなら問題はないと思います。また、実2次元回転と複素1次元回転（ユニタリー）を同型と見る分にも問題はないと思います。
複素数を超えるものを「超複素数」と呼んで「四元数」「八元数」があります。基本的に、いろいろな意味で数学的に有効なものは、「一元数」（実数）、「二元数」（複素数）を含めて、この４つだけです。「三元数」とか「五元数」も歴史上では試行錯誤的に考えられたようですが、あまり数学的に有効な仕組みが成り立つようには定義できなかったようです。2^n元数(ただしn>3の整数)というものを考えようとするなら、「多元環」の概念を持ち込む必要があります。元の数が2^n(ただしn<0の整数)というのは聞いたことがありませんが、「p進数」というものはあります。そちらは詳しいことを知りませんので、ご自分で調べてください。
ちなみに、四元数では「交換法則」が成り立ちません。ですから、一般に「ab」は「ba」と等しくありません。また、八元数では「交換法則」どころか「結合法則」も成り立たないので、一般に、「a(bc)」と「(ab)c」は等しくありません。このように、より大きな多元数になるほど、いろいろ計算上の制約が発生するので、数学的に有効となる定義方法が難しくなるわけです。
どれも一言では説明できない、とっても難しい、かなり数学的なご質問ですね（汗）。
xy平面とは「実2次元平面」のことをおっしゃられていると思います。一方「複素平面」とおっしゃられているのは「複素1次元」を表現するための「複素数平面」だと思います。確かにどちらも、見かけ上は「実2次元平面」です。
ただ、複素数を変数とし、複素数に値をとる「複素関数」と呼ばれるものを扱うときには、いろいろ厄介なことがあります。実数では容易に微分できた関数でも、複素数では必ずしも微分できない状況も出て来るからです。詳しくは「複素関数論」を理解する必要が出てきます。「複素平面」（複素2次元）ではなく、「複素数平面」（複素1次元）上であくまで関数を実関数として扱うなら問題はないと思います。また、実2次元回転と複素1次元回転（ユニタリー）を同型と見る分にも問題はないと思います。
複素数を超えるものを「超複素数」と呼んで「四元数」「八元数」があります。基本的に、いろいろな意味で数学的に有効なものは、「一元数」（実数）、「二元数」（複素数）を含めて、この４つだけです。「三元数」とか「五元数」も歴史上では試行錯誤的に考えられたようですが、あまり数学的に有効な仕組みが成り立つようには定義できなかったようです。2^n元数(ただしn>3の整数)というものを考えようとするなら、「多元環」の概念を持ち込む必要があります。元の数が2^n(ただしn<0の整数)というのは聞いたことがありませんが、「p進数」というものはあります。そちらは詳しいことを知りませんので、ご自分で調べてください。
ちなみに、四元数では「交換法則」が成り立ちません。ですから、一般に「ab」は「ba」と等しくありません。また、八元数では「交換法則」どころか「結合法則」も成り立たないので、一般に、「a(bc)」と「(ab)c」は等しくありません。このように、より大きな多元数になるほど、いろいろ計算上の制約が発生するので、数学的に有効となる定義方法が難しくなるわけです。
５次方程式より次数の高い方程式は「代数」的に、つまり、四則演算や開平（√）では解けません。確か、２０歳で決闘で散ったことで有名なガロアが証明したと思います（その前にアーベルが証明しましたが、その後でガロアはそれをもっと簡略化しました）。
４種類と言ってもなかなか安心はできませんけどね。元というのは、基底の数ですので、四元数は、実数部が１つ、虚数部が３つ、八元数は、実数部が１つ、虚数部が７つです。ちなみに、これと、ｎ次元ベクトルとかｎ次元行列の「次元」とは意味が違います。
「複素数平面」がもともと「複素平面」と呼ばれていたのですが、高次の複素数がよく扱われるようになり、区別のために分けて使われるようになったようです。
４種類と言ってもなかなか安心はできませんけどね。元というのは、基底の数ですので、四元数は、実数部が１つ、虚数部が３つ、八元数は、実数部が１つ、虚数部が７つです。ちなみに、これと、ｎ次元ベクトルとかｎ次元行列の「次元」とは意味が違います。
「複素数平面」がもともと「複素平面」と呼ばれていたのですが、高次の複素数がよく扱われるようになり、区別のために分けて使われるようになったようです。
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