独学ノート（土筆の子）コミュのＱ(ζ_8)の部分体

件の数論１（加藤和也著）の演習問題5.1
Ｑ(ζ_8)の部分体をすべて挙げよ。それぞれの体で完全分解する素数は何か。

の解答です。青空学園での数論勉強会でアップされたものですが、勉強がてら拝借しました。眺めていると判ってくる気になります。

以下、ζ_8=ζとおく。1の原始8乗根はζ,ζ^3,ζ^5,ζ^7であり、
既約なf(x)=x^4+1∈Ｑ[x]の根である。
σ，τ∈G=Gal(Ｑ(ζ)/Ｑ)をσ(ζ)=ζ^3，τ(ζ)=ζ^5で定義すると、
στ(ζ)=(ζ^5)^3=ζ^15=ζ^7,τσ(ζ)=(ζ^3)^5=ζ^15=ζ^7から、στ=τσ

従って、Ｇ=＜σ,τ｜σ^2=τ^2=1,στ=τσ＞はアーベル群であり、部分群列は、
Ｇ⊃H={σ,1}⊃{1}
Ｇ⊃I={τ,1}⊃{1}
Ｇ⊃J={τσ,1}⊃{1}

Ｑ(ζ)のＱに対する拡大次数が4であることから、Ｑ上基底をζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4
と置くことが出来、Ｑ(ζ)の任意の元zをz=a_1ζ+a_2ζ^2+a_3ζ^3+a_4ζ^4
（a_1,a_2,a_3,a_4∈Ｑ）で表すことが出来る。更に、ζ^4=-1である。

【Ｇ⊃H={σ,1}⊃{1}に対応するＱ(ζ)の部分体列】
σ(z)=zから、a_1ζ+a_2ζ^2+a_3ζ^3+a_4ζ^4=a_1ζ^3+a_2ζ^6+a_3ζ^9+a_4ζ^12
即ち、a_1ζ+a_2ζ^2+a_3ζ^3-a_4=a_1ζ^3-a_2ζ^2+a_3ζ-a_4
a_1=a_3,a_2=-a_2,a_3=a_1,-a_4=-a_4

従って、a_1=a_3=a，a_2=0,a_4=-bとおいて良い。
z=a_1ζ+a_2ζ^2+a_3ζ^3+a_4ζ^4 z
=a(ζ+ζ^3)+b
=a(ζ-ζ^-1)+b∈Ｑ(ζ-ζ^-1)
かつ
σ(ζ-ζ^-1)=ζ^3-ζ^-3=-ζ^-1+ζ
即ちζ-ζ^-1は、Hの同型写像により、固定されるから、
Hに対応するＱとＱ(ζ)の中間体はＱ(ζ-ζ^-1)である。

【Ｇ⊃I⊃{1}に対応するＱ(ζ)の部分体列】
τ(z)=zから、
a_1ζ+a_2ζ^2+a_3ζ^3+a_4ζ^4=a_1ζ^5+a_2ζ^10+a_3ζ^15+a_4ζ^20
即ち、a_1ζ+a_2ζ^2+a_3ζ^3-a_4=-a_1ζ+a_2ζ^2-a_3ζ^3-a_4
a_1=-a_1,a_2=a_2,a_3=-a_3,-a_4=-a_4

従って、a_1=a_3=0，a_2=a,a_4=-bとおいて良い。
z=aζ^2+b

τ(ζ^2)=ζ^10=ζ^2
即ちζ^2は、Iの同型写像により、固定されるから、
Iに対応するＱとＱ(ζ)の中間体はＱ(ζ^2)である。

【Ｇ⊃J⊃{1}に対応するＱ(ζ)の部分体列】
同様に、中間体Ｑ(ζ+ζ^-1)を得る。

【まとめ】ζ^4=-1からＱ(ζ^2)=Ｑ(√-1)
(ζ+ζ^-1)^2+(ζ-ζ^-1)^2=2(ζ^2+ζ^-2)=0,(ζ+ζ^-1)^2-(ζ-ζ^-1)^2=4
から、(ζ+ζ^-1)^2=2，(ζ-ζ^-1)^2=-2を得る。

従って、Ｑ(ζ+ζ^-1)=Ｑ(√2),Ｑ(ζ-ζ^-1)=Ｑ(√-2)であり、Ｑ(ζ_8)の部分体列
は、
Ｑ(ζ_8)⊃Ｑ(√-2)⊃Ｑ,Ｑ(ζ_8)⊃Ｑ(√-1)⊃Ｑ,Ｑ(ζ_8)⊃Ｑ(√2)⊃Ｑの3通りあ
る。
更に、Ｇは{1,3,5,7},Hは{1,3},Iは{1,5},Jは{1,7}と同一視出来るので、

Gal(Ｑ(ζ_8)/Ｑ(ζ_8))={1}から、Ｑ(ζ_8)はp≡1 mod 8
Gal(Ｑ(ζ_8)/Ｑ(√-2))=Hから、Ｑ(√-2)はp≡1,3 mod 8
Gal(Ｑ(ζ_8)/Ｑ(√-1))=Iから、Ｑ(√-1)はp≡1,5 mod 8（p≡1 mod 4でもある。）
Gal(Ｑ(ζ_8)/Ｑ(√2))=Jから、Ｑ(√2)はp≡1,7 mod 8
Gal(Ｑ(ζ_8)/Ｑ)=Gから、Ｑはp≡1,3,5,7 mod 8従って、全ての素数
を完全分解する。

注）
ζ_8^3=-√2/2+√(-2)/2なので、
H_3の元はζ_8=√2/2+√(-2)/2を-√2/2+√(-2)/2に変換する。
よってH_3で(√2/2+√(-2)/2)+(-√2/2+√(-2)/2)=√-2は不変、
H_3で固定される体は(√2/2+√(-2)/2)+(-√2/2+√(-2)/2)=√-2を含む。
次数を考えH_3に対応する体はQ(√-2)