独学ノート（土筆の子）コミュの終結式

2つの多項式（次数はn≧mとする）

f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0　　(1)
g(x)=b_mx^m+b_(m-1)x^(m-1)+...+b_1x+b_0 (2)

に対し、f(x)=0とg(x)=0に共通解があるための条件は何か？
１９世紀にシルベスターがf,gの終結式R(f,g)を導入し、
R(f,g)=0という必要十分条件を与えた。

特に、g=f'のとき、R(f,f')はfの判別式に相当する。

(1)にx^(m-1),...,x^1,1を
(2)にx^(n-1),...,x^1,1を
乗じた合計m+n個の式を、a_n,...,a_0,b_m,...,b_0を
未知数とする連立一次方程式とみなせば、

それらにすべてが0ではない解{x^(m+n-1),...,x,1}があるための
必要十分条件として、
係数行列式（シルベスター行列の行列式）が0という条件を得る。

（代数学入門第三課、一松信著）

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例：

f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2
g(x)=b_0x^2+b_1x+b_2

R(f,g)=(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1) ?

ここで、
g(x)=f'(x)=2a_0x+a_1
とすると、b_0 →0,b_1 →2a_0,b_2 →a_1
また、f(x)の判別式D=(a_1)^2-4a_0a_2

R(f,g)
=R(f,f')
=(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1)
=(a_0xa_1)^2 -(a_0x2a_0)(a_1xa_1-a_2x2a_0)
=(a_0)^2{(a_1)^2-2(a_1)^2 + 2a_0a_2}

=(a_0)^2{-(a_1)^2 + 4a_0a_2} ?

=-(a_0)^2 D

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 01月21日 15:32

f1=x^2*y-x^2+5x*y-2y+1
f2=x*y^2-2x*y+x-4y^3-7

に対して、xを主係数として、f1,f2の終結式を作れば
g=6y^7+4y^6-42y^5+85y^4-37y^3-56y^2+78y-48
を得る。

g=u*f1+v*f2と表されるので、g∈I (f1,f2から生成されるイデアル）である。

このgはxを含まず、yのみの多項式であるから、
g=0をといてyを求め、そのおのおのからf2=0で、xを求めて、
連立方程式f1=f2=0を解くことができる。

（代数学入門第三課、一松信著）

[2] mixiユーザー 01月21日 15:45

Mathematicaでやってみる。

TraditionalForm[Resultant[x^2*y - x^2 + 5 x*y - 2 y + 1,
x*y^2 - 2 x*y + x - 4 y^3 - 7, x]]

TraditionalForm=
16 y^7+4 y^6-42 y^5+85 y^4-37 y^3-56 y^2+78 y-48

y^7の係数が違っている。一松先生の本の誤植やもしれない。

In[35]:= Solve[
16 y^7 + 4 y^6 - 42 y^5 + 85 y^4 - 37 y^3 - 56 y^2 + 78 y - 48 == 0]

Out[35]= {{y -> 1}, {y ->
Root[48 - 30 #1 + 26 #1^2 + 63 #1^3 - 22 #1^4 + 20 #1^5 +
16 #1^6 &, 1]}, {y ->
Root[48 - 30 #1 + 26 #1^2 + 63 #1^3 - 22 #1^4 + 20 #1^5 +
16 #1^6 &, 2]}, {y ->
Root[48 - 30 #1 + 26 #1^2 + 63 #1^3 - 22 #1^4 + 20 #1^5 +
16 #1^6 &, 3]}, {y ->
Root[48 - 30 #1 + 26 #1^2 + 63 #1^3 - 22 #1^4 + 20 #1^5 +
16 #1^6 &, 4]}, {y ->
Root[48 - 30 #1 + 26 #1^2 + 63 #1^3 - 22 #1^4 + 20 #1^5 +
16 #1^6 &, 5]}, {y ->
Root[48 - 30 #1 + 26 #1^2 + 63 #1^3 - 22 #1^4 + 20 #1^5 +
16 #1^6 &, 6]}}

y=1を、f2に代入すると、0=0, f1に代入すると、x=1/5

[3] mixiユーザー 01月22日 22:39

２つの２次式の共通解をもつ条件。

In[1]:= Resultant[a0*x^2 + a1*x + a2, b0*x^2 + b1*x + b2, x]

Out[1]= a2^2 b0^2 - a1 a2 b0 b1 + a0 a2 b1^2
+ a1^2 b0 b2 - 2 a0 a2 b0 b2 - a0 a1 b1 b2 + a0^2 b2^2

In[2]:= Resultant[x^2 + c1*x + c2, x^2 + d1*x + d2, x]

Out[2]= c2^2 - c1 c2 d1 + c2 d1^2 + c1^2 d2
- 2 c2 d2 - c1 d1 d2 + d2^2

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