独学ノート（土筆の子）コミュのf[x]=x^4-8x^3-6x^2+4*x+2

　ふたつ前は8次、直前は次数を下げ6次、今回は　更に　次数を下げます；
http://www.math.cam.ac.uk/undergrad/catam/II/
　　　　　　から　拾った；
　　　　 16. Algebra
16.1 The Galois Group of a Polynomial (7)
16.8 The Character Table of a Finite Group (9)
http://www.math.cam.ac.uk/undergrad/catam/II/16pt1.pdf
　　Question 3 Run your program for the polynomials　の　4次
　　　　ひとつを　俎上に載せ　
　　f[x]=x^4 - 8*x^3 - 6*x^2 + 4*x + 2 とし,
　　　★商空間　Q[x]/f[x]*Q[x]の考察をします★；
(1)f[x]=0の解をαとするとき、●他のもかい達をσj[α]∈Q[α]で表してください●；
σ1[α]=α
σ2[α]=(9*α^3)/5 - K*α^2 - (29*α)/5 + 44/5
　　　　　(Kakusiましたので　Kを求めて下さい　　Hint;
http://www.youtube.com/results?search_query=15%E3%81%AE%E5%90%9B%E3%81%B8&aq=2
http://www.youtube.com/watch?v=zOeXc_v0Mvk
http://www.youtube.com/watch?v=AiD78w0AqeQ
σ3[α]=
σ4[α]=
　　　　　　　　　●あと２つ　多様な発想で!!!!!　求めてください●
（▼ひとつ　漏らしました　真実を述べているか　を Eliminate 等▼　で　確認願います!)

(2) ★★{σ2^n[α]|n∈N}を求め ●もかいを尽くす●か調査してください★★
　他のσj^n[α]で　尽くすσj[α]が∃しますか?

　　　　　　　σi○σj 等も　求め
ガロア群 Gal(Q(σ1[α],σ2[α],,,,σ4[α])/Q) を求めてください。
(3) f[x]を◆一次式の積◆として表現してください。(◆　叶うことは Gauss 諸氏により何度も証明され　QED◆)
The Fundamental Theorem of Algebra was first proved by Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
http://www.nhk.or.jp/drama8/qed/
証明が　QED　で　すませず　具現を ; f[x]=(x-___)*(x-___)*(x-___)*(x-___)

(4)σ2[α]の　逆元　を　　Q[α]の元として　　多様な発想　で表示してください。
　　　　　　　　　　　　　Hintを下に載せました；

　　　　　　x^4*f[1/x]を計算し
（挿入；
http://www.wolframalpha.com/ お任せ）
　　で　f[x]=x^4 - 8*x^3 - 6*x^2 + 4*x + 2
　　　　　係数の配列　が　reverse

コメント(7)

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[1] mixiユーザー 01月12日 22:05

f[x]=x^4 - 8*x^3 - 6*x^2 + 4*x + 2=0

-(-x+3 sqrt(7 (8-3 sqrt(7)))+8 sqrt(8-3 sqrt(7))+sqrt(7)+2)
(x-sqrt(8-3 sqrt(7))+sqrt(7)-2)
(x+sqrt(8-3 sqrt(7))+sqrt(7)-2)
(x+3 sqrt(7 (8-3 sqrt(7)))+8 sqrt(8-3 sqrt(7))-sqrt(7)-2)

別の表現では、
x = 2-sqrt(7)-sqrt(8-3*sqrt(7))
x = 2-sqrt(7)+sqrt(8-3*sqrt(7))
x = 2+sqrt(7)-sqrt(8+3*sqrt(7))
x = 2+sqrt(7)+sqrt(8+3*sqrt(7))

[2] mixiユーザー 01月12日 22:18

f[x]=x^4-8*x^3-6*x^2+4*x+2

x^4*f[1/x]=2*x^4+4*x^3-6*x^2-8*x+1=0

は、
x = 1/2 (-1-sqrt(9-2*sqrt(14)))
x = 1/2 (-1+sqrt(9-2*sqrt(14)))
x = 1/2 (-1-sqrt(9+2*sqrt(14)))
x = 1/2 (-1+sqrt(9+2*sqrt(14)))

の根を持つ。

[3] mixiユーザー 01月12日 22:37

x^2+2x+2=0 ●

x=(1/2)(-2±sqrt(4-8))=-1±sqrt(-1)=-1±i,

2x^2+2x+1=0　▲

x=(1/4)(-2±sqrt(4-8)=(1/2)(-1±i)

1/(-1+i)=(-1-i)/(1+1)=(1/2)(-1-i)

確かに、●と▲の根は、逆数になっている。

[4] mixiユーザー 01月13日 00:57

σ2[α]=(9*α^3)/5 - K*α^2 - (29*α)/5 + 44/5

K=15

尾崎豊いいですね。
きゃーきゃーいう女の子の気持ちがはってる様子がよくわかります。
もう若くないんだと、ひしひしと感じさせられる。

[5] mixiユーザー 01月13日 01:13

Eliminate[{a^4-8 a^3-6 a^2+4 a+2 = 0, b = 1/5 (9 a^3)-15 a^2-(29 a)/5+44/5}, a]

例によって、上をwolframに代入すると、bが、元の式を満足することが判る。

b^4-8 b^3-6 b^2+4 b = -2

[6] mixiユーザー 01月13日 01:16

x^4-8x^3-6x^2+4x+2=0

の、判別式は 313600=(560)^2

[7] mixiユーザー 01月13日 01:23

Eliminate[{b = 1/5 9 a^3-15 a^2-(29 a)/5+44/5, c = 1/5 9 b^3-15 b^2-(29 b)/5+44/5}, b]

625 c = 6561 a^9-164025 a^8+1303452 a^7-2673972 a^6-5297562 a^5+2445714 a^4+3483972 a^3-707292 a^2-537863 a+14256

これは、
a^4-8 a^3-6 a^2+4 a+2 = 0の関係を用いて、左辺のaの次数を下げていくことにより、おそらく、c=aになることであろう。

ということは、σ3[α],σ4[α]は、別の関係から求めなくてはなるまい。

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