独学ノート（土筆の子）コミュのσ2[α]=(3α^3)/2+Kα^2+66*α-9/2

f[x]=x^4 + 20*x^3 + 133*x^2 + 296*x + 13とし,
★商空間　Q[x]/f[x]*Q[x]の考察をします★；
(1)f[x]=0の解をαとするとき、●他のもかい達をσj[α]∈Q[α]で表してください●；
σ1[α]=α
σ2[α]=(3*α^3)/2 + K*α^2 + 66*α - 9/2
σ3[α]=
σ4[α]=
　　　　　　　　　●あと2つ　多様な発想で!!!!!　求めてください●
（▼ひとつ　殆ど漏らしました＜Kをf[σ2[α]]=0となるようKakusita K を定め＞
　　　　　真実を述べているかを Eliminate 等▼　で　確認願います!)
(2) ★★{σ2^n[α]|n∈N}を求め ●もかいを尽くす●か調査してください★★
ガロア群 Gal(Q(σ1[α],σ2[α],,,,σ4[α])/Q) を求めてください。
(3) f[x]を◆一次式の積◆として表現してください。(◆　叶うことは Gauss 諸氏により何度も証明され　QED◆)
The Fundamental Theorem of Algebra was first proved by Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
http://www.nhk.or.jp/drama8/qed/
証明が　QED　で　すませず　具現を ; f[x]=(x-___)*(x-___)*(x-___)*(x-___)

http://www.ma.huji.ac.il/~ehud/MH/Gauss-HarelCain.pdf

コメント(9)

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[1] mixiユーザー 01月10日 18:06

Kは成人の日がヒントだとのこと、
20,15,

[2] mixiユーザー 01月10日 18:10

Eliminate[{a^4+20 a^3+133 a^2+296 a+13 = 0, b = 1/2 (3 a^3)+20 a^2+66 a-9/2}, a]

b^4+20 b^3+133 b^2+296 b = -13

どうもK=20のようだ。

[3] mixiユーザー 01月10日 18:42

Eliminate[{b = 1/2 (3 a^3)+20 a^2+66 a-9/2, c = 1/2 (3 b^3)+20 b^2+66 b-9/2}, b]

16 c = 81 a^9+3240 a^8+53892 a^7+477111 a^6+2371008 a^5+6270248 a^4+6888795 a^3-24744 a^2-24156 a-531

になった。

この、右辺から、a^4+20 a^3+133 a^2+296 a+13 = 0
を引いて行って何が残るかだ。

c =-a^3-14a^2-49a-8

になった。

[4] mixiユーザー 01月10日 18:48

それでは、このcもσ_c(σ_c)の入れ子をやってみよう。

Eliminate[{c =-a^3-14a^2-49a-8, d=-c^3-14c^2-49c-8},c]

d = 833 a + 24248 a^2 + 131386 a^3 + 103782 a^4 + 36295 a^5 + 6870 a^6 + 735 a^7 + 42 a^8 + a^9

この、右辺から、a^4+20 a^3+133 a^2+296 a+13 = 0
を引いて行って何が残るかだ。

[5] mixiユーザー 01月10日 18:58

なんと、

d=aになった。

[6] mixiユーザー 01月10日 19:17

σ2[α]=(3*α^3)/2 + K*α^2 + 66*α - 9/2
σ^2[α]==-α^3-14α^2-49α-8
σ^4[α]=α

になったわけだ。
σ^3[α]は、

Eliminate[{c =-a^3-14a^2-49a-8, e=1/2(3c^3)+20c^2+66c-9/2},c]
で出るのだろう。

-41-2 e = 3 a^9+126 a^8+2205 a^7+20612 a^6+108941 a^5+311934 a^4+396919 a^3+77784 a^2+3332 a

こんなのになった。

[7] mixiユーザー 01月10日 19:33

これは、

-2e=3 a^9+126a^8+2205a^7+20612a^6+108941a^5+311934a^4+396919a^3+77784a^2+3332a+41

と変形して、この、右辺から、a^4+20 a^3+133 a^2+296 a+13 = 0
を引いて行って何が残るか。

-2e=15+36a+12a^2+a^3

どうも、これで、σ^3[α]が求まったと思う。

σ2[α]=(3*α^3)/2 + 20*α^2 + 66*α - 9/2
σ^2[α]=-α^3-14α^2-49α-8
σ^3[α]=(-1/2){α^3+12α^2+36α+15}
σ^4[α]=α

Eliminate[{c = -1/2 (a^3+12 a^2+36 a+15), f = 1/2 (3 c^3)+20 c^2+66 c-9/2}, c]
は、

16 f = -3 a^9-108 a^8-1620 a^7-13015 a^6-59640 a^5-151848 a^4-187641 a^3-73116 a^2-5508 a-117

こうなる。

[8] mixiユーザー 01月10日 19:44

16 f = -3 a^9-108 a^8-1620 a^7-13015 a^6-59640 a^5-151848 a^4-187641 a^3-73116 a^2-5508 a-117

の、右辺から、a^4+20 a^3+133 a^2+296 a+13 = 0
を引いて行って何が残るか。

無事、16f=16a

になった。　万歳！！

[9] mixiユーザー 01月10日 19:49

factor x^4 + 20*x^3 + 133*x^2 + 296*x + 13

を、Wolframでやってみると、

1/256 (-4 x+sqrt(17 (17+4 sqrt(17)))-5 sqrt(17+4 sqrt(17))+sqrt(17 (17-4 sqrt(17)))+5 sqrt(17-4 sqrt(17))-2 sqrt(17)-20)

(-4 x+sqrt(17 (17+4 sqrt(17)))-3 sqrt(17+4 sqrt(17))+sqrt(17 (17-4 sqrt(17)))+3 sqrt(17-4 sqrt(17))+2 sqrt(17)-20)

(4 x+sqrt(17 (17+4 sqrt(17)))-5 sqrt(17+4 sqrt(17))+sqrt(17 (17-4 sqrt(17)))+5 sqrt(17-4 sqrt(17))+2 sqrt(17)+20)

(4 x+sqrt(17 (17+4 sqrt(17)))-3 sqrt(17+4 sqrt(17))+sqrt(17 (17-4 sqrt(17)))+3 sqrt(17-4 sqrt(17))-2 sqrt(17)+20)

ものすごい式になる。
複素数は出てこないが、√17が入れ子になっている。

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