独学ノート（土筆の子）コミュのx^4+x^3-16 x^2+5 x+25

(0) Resultant[x^2 + y*x - 5*y^2, y^2 + y + 1,y] を下に挿入してください；
　　　　　と　直前に　お願い致しました。
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今回の願い　は；(0) Resultant[x^2 + y*x - 5*y^2, y^2 - y - 1,y]を下に挿入してください；（です）
http://www.wolframalpha.com/input/
　　　　獲られたモノを f [x]とし　或る　体K上　因数分解も　したい。
★商空間　Q[x]/f[x]*Q[x]の考察をします★；
wolframalphaは▼　Resultant云々を挿入すると,裏でなにかコソコソしている　▼
　　f[x]が獲られるまでの全ての其の行為を隠匿せず,記述してください。
(1)f[x]は「◆いったい　ナニモノ　ですか?◆」
(2)f[x]=0の解をαとするとき、●他のもかい達をσj[α]∈Q[α]で表してください●；
σ1[α]=α
σ2[α]=-(5/4) - (7*\[Alpha])/2 + \[Alpha]^2/2 + \[Alpha]^3/4
σ3[α]=
σ4[α]=
　　　　　　　　　●あと2つ求める趣味を残します●
（▼ひとつ漏らしましたが　真実を述べているかを Eliminate 等▼　で　確認願います!)

MOSO={α,-(5/4) - (7*\[Alpha])/2 + \[Alpha]^2/2 + \[Alpha]^3/4,.... }

(3)各j についてσj^n[α](n∈N)を求めカンタンにしてください。
各j ,i についてσj^n○σi^m[α](n,m∈N)を求めカンタンにしてください。
ガロア群 Gal(Q(σ1[α],σ2[α],,,,σ4[α])/Q) を求めてください。
(4) MOSOにα=(1/2 + Sqrt[5]/2)*(-(1/2) - Sqrt[21]/2) を代入して、カンタンにして下さい.
(5) f[x]を一次式の積として表現してください。
(6) α=(1/2 + Sqrt[5]/2)*(-(1/2) - Sqrt[21]/2)のQ上の最小多項式m[x]∈Q[x]を求めてください。
(7)体Q(Sqrt[21])で　m[x]を因数分解して(4)(5)で獲た結論と照合して下さい。
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◆　吐露; =========(0)(1)と(6)の積を　睨んで, 是非　鑑賞して下さい==========◆

コメント(7)

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[1] mixiユーザー 01月08日 20:56

；(0) Resultant[x^2 + y*x - 5*y^2, y^2 - y - 1,y]を下に挿入してください；（です）
http://www.wolframalpha.com/input/

x^4+x^3-16 x^2+5 x+25
が出ます。

[2] mixiユーザー 01月08日 21:07

>（▼ひとつ漏らしましたが　真実を述べているかを Eliminate 等▼で確認願います!)
>MOSO={α,-(5/4) - (7*\[Alpha])/2 + \[Alpha]^2/2 + \[Alpha]^3/4,.... }

Eliminate[{α^4+α^3-16α^2+5α+25=0, β=-(5/4)-7α/2+α^2/2+α^3/4}, α]
をいかに入れると、
http://www.wolframalpha.com/input/

5 β - 16 β^2 + β^3 + β^4 = -25

になりました。不思議。

[3] mixiユーザー 01月08日 21:17

σ1[α]=α
σ2[α]=-(5/4)-7α/2+α^2/2+α^3/4
σ3[α]=
σ4[α]=

σ2[σ2[α]]=-(5/4)-7{σ2[α]}/2+{σ2[α]}^2/2+{σ2[α]}^3/4
=σ3[α]　（おそらく、）

Eliminate[{β=-(5/4)-7α/2+α^2/2+α^3/4,γ=-(5/4)-7β/2+β^2/2+β^3/4}, β]

を、以下に入れると、
http://www.wolframalpha.com/input/

3206α-1830α^2-2581α^3+1344α^4+392α^5-167α^6-30α^7+6α^8+α^9=-875+256γ

[4] mixiユーザー 01月08日 21:48

3206α-1830α^2-2581α^3+1344α^4+392α^5-167α^6-30α^7+6α^8+α^9=-875+256γ

これを、
α^4+α^3-16α^2+5α+25=0
の関係を使って、

γ=aα^3+bα^2+cα+dα+e

の関係にする。

原始的に少しずつやってみよう。

α^9+α^8-16α^7+5α^6+25α^5=0
から、順に引いていく。

　　　α　　α^2　α^3　α^4　α^5　α^6　α^7　α^8　α^9
875, 3206, -1830, -2581, 1344, 392, -167, -30, 　6, 　　1 = 256 γ
875, 3206, -1830, -2581, 1344, 367, -172, -14, 5, 0 = 256 γ
875, 3206, -1830, -2581, 1219, 342, -92, -19, 0, 0 = 256 γ
875, 3206, -1830, -2106, 1314, 38, -73, 0, 0, 0 = 256 γ
875, 3206, -5, -1741, 146, 111, 0, 0, 0, 0 = 256 γ
875, 431, -560, 35, 35, 0, 0, 0, 0, 0 = 256 γ
0, 256, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 = 256 γ

γ=α
になった。

　　

　　

[6] mixiユーザー 01月09日 23:24

Discriminant[x^4+x^3-16 x^2+5 x+25, x]
=4410000
=(2100)^2

[7] mixiユーザー 01月09日 23:28

どうも、
ガロア群は、Z/2ZxZ/2Z

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