独学ノート（土筆の子）コミュのx^4-x^3+6x^2+5x+25

(0) Resultant[x^2 + y*x - 5*y^2, y^2 + y + 1,y] を下に挿入してください；
http://www.wolframalpha.com/input/
　　　　獲られたモノを f [x]とし　或る　体K上　因数分解も　したい。
★商空間　Q[x]/f[x]*Q[x]の考察をします★；
wolframalphaは▼　Resultant云々を挿入すると,裏でなにかコソコソしている　▼
　　f[x]が獲られるまでの全ての其の行為を隠匿せず,記述してください。
(1)f[x]は「◆いったい　ナニモノ　ですか?◆」
(2)f[x]=0の解をαとするとき、●他のもかい達をσj[α]∈Q[α]で表してください●；
σ1[α]=α
σ2[α]=1 + (6*\[Alpha])/5 - \[Alpha]^2/5 + \[Alpha]^3/5
σ3[α]=
σ4[α]=
　　　　　　　　　●あと2つ求める趣味を残します●
（▼ひとつ漏らしましたが　真実を述べているかを Eliminate 等▼　で　確認願います!)

MOSO={α,1 + (6*\[Alpha])/5 - \[Alpha]^2/5 + \[Alpha]^3/5,.... }

(3)各j についてσj^n[α](n∈N)を求めカンタンにしてください。
各j ,i についてσj^n○σi^m[α](n,m∈N)を求めカンタンにしてください。
ガロア群 Gal(Q(σ1[α],σ2[α],,,,σ4[α])/Q) を求めてください。
(4) MOSOにα=(-(1/2) - (I*Sqrt[3])/2)*(-(1/2) - Sqrt[21]/2) を代入して、カンタンにして下さい.
(5) f[x]を一次式の積として表現してください。
(6) α=(-(1/2) - (I*Sqrt[3])/2)*(-(1/2) - Sqrt[21]/2)のQ上の最小多項式m[x]∈Q[x]を求めてください。
(7)体Q(-(1/2) + (I*Sqrt[3])/2)で　m[x]を因数分解して(4)(5)で獲た結論と照合して下さい。
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吐露; =========(0)(1)と(6)の積を　睨んで,鑑賞して下さい==========

コメント(14)

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[1] mixiユーザー 01月07日 22:09

x^4-x^3+6x^2+5x+25=0

の判別式は、3572100=(1890)^2

[2] mixiユーザー 01月07日 22:38

x^4-x^3+6x^2+5x+25=0

y=x+(-1/4)と置くと

256 y^4+1440 y^2+2016 y +6813 =0

f(x)=x^4+qx^2+rx+s
の３次分解式g(x)は、

g(x)=x^3-2qx^2+(q^2-4s)x+r^2

となる。

今の場合、q=1440/256, r=2016/256, s=6813/256

したがって、-2q=45/4, q^2-4s=-1197/16, r^2=3969/64

f(x)∈Ｑ[x]をガロア群がＧである規約４次式とし、ｍをその
３次分解式のガロア群の位数とする。
(i) m=6　であれば、ＧはS_4
(ii) m=3　であれば A_4
(iii)m=1　であれば V
(iv) m=2　であれば D_8, または, Z_4

[3] mixiユーザー 01月07日 23:05

Eliminate[{a^4-a^3+6 a^2+5 a+25 = 0, b = 1+6/5 a-1/5 a^2+1/5 a^3}, a]

b^4-b^3+6 b^2+5 b = -25

[5] mixiユーザー 01月07日 23:19

{(-1/2-1/2 (i sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
*{(-1/2+1/2 (i sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
*{(-1/2-1/2 (i sqrt(3)))*(-1/2+sqrt(21)/2)}
*{(-1/2+1/2 (i sqrt(3))) (-1/2+sqrt(21)/2)}

=25

[6] mixiユーザー 01月07日 23:21

{(-1/2-1/2 (i sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
+{(-1/2+1/2 (i sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
+{(-1/2-1/2 (i sqrt(3)))*(-1/2+sqrt(21)/2)}
+{(-1/2+1/2 (i sqrt(3))) (-1/2+sqrt(21)/2)}

=1

[7] mixiユーザー 01月07日 23:52

A={(-1/2-1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
B={(-1/2+1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
C={(-1/2-1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2+sqrt(21)/2)}
D={(-1/2+1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2+sqrt(21)/2)}

AB+AC+AD+BC+BD+CD=
(1/2)(11+sqrt(21))+(5/2)(1-i*sart(3))
+(-5)+(-5)
+(5/2)(1+i*sart(3))+(1/2)(11-sqrt(21))
=11+5-10
=6

BCD+ACD+ABD+ABC=
{-5/4+(5 i sqrt(3))/4-(15 i sqrt(7))/4+(5 sqrt(21))/4}
{-5/4-(5 i sqrt(3))/4+(15 i sqrt(7))/4+(5 sqrt(21))/4}
{-5/4+(5 i sqrt(3))/4+(15 i sqrt(7))/4-(5 sqrt(21))/4}
{-5/4-(5 i sqrt(3))/4-(15 i sqrt(7))/4-(5 sqrt(21))/4}
=-5

結局：x^4-x^3+6x^2+5x+25=0　が求まった。

[8] mixiユーザー 01月07日 23:54

x^4-x^3+6x^2+5x+25
=(x-A)(x-B)(x-C)(x-D)

A={(-1/2-1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
B={(-1/2+1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2-sqrt(21)/2)}
C={(-1/2-1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2+sqrt(21)/2)}
D={(-1/2+1/2*(i*sqrt(3)))*(-1/2+sqrt(21)/2)}

[9] mixiユーザー 01月08日 00:23

Eliminate[{a={-1/2-1/2*(i*sqrt(3))}*{-1/2-sqrt(21)/2},b=1+(6/5)a-(1/5)a^2+(1/5)a^3},a]

b = 1/4 (1-i sqrt(3)+3 i sqrt(7)-sqrt(21))

[10] mixiユーザー 01月08日 00:30

A=1/4 (1-i sqrt(3)+3 i sqrt(7)-sqrt(21))
B=1/4 (1-i sqrt(3)-3 i sqrt(7)+sqrt(21))
C=1/4 (1+i sqrt(3)-3 i sqrt(7)-sqrt(21))
D=1/4 (1-i sqrt(3)+3 i sqrt(7)-sqrt(21))

σ1[α]=α=A
σ2[α]=D

[11] mixiユーザー 01月08日 00:35

Eliminate[{b=1+(6/5)a-(1/5)a^2+(1/5)a^3,c=1+(6/5)b-(1/5)b^2+(1/5)b^3}, b]

c = 1/625 (a^9-3 a^8+21 a^7-27 a^6+106 a^5+22 a^4+271 a^3+185 a^2+1050 a+1375)

[13] mixiユーザー 01月08日 22:27

625c =a^9-3 a^8+21a^7-27a^6+106a^5+22a^4+271a^3+185a^2+1050a+1375

を、a^4-a^3+6a^2+5a+25=0 の関係を使って簡単にしていくと、

c=aを得る。

[14] mixiユーザー 01月09日 23:22

Discriminant[x^4-x^3+6 x^2+5 x+25, x]
=3572100
=(1890)^2

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