独学ノート（土筆の子）コミュのf(x)=x^3+ax+b

ガロア入門、エミール・アルティン著。寺田文行
が「ちくま学芸文庫」になっていた。
１１月に、買ってしまったので、もったいないので、すこし問題と回答を
写しておく。

２章、問題4-2
有理数体Ｑ内の３次式をf(x)=x^3+ax+cとする。

(1)f(x)=0の３根をα、β、γとして
　　D={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
　　とするとき D=-4a^3-27b^2であることを示せ。

(2)Q上f(x)の分解体をBとするとB=Q(√D,α)であることを示せ。　

３章、問題3-4
(1)標数が0の体K上の規約方程式f(x)=x^3+ax+cの分解体Eにおける
　　３根をα、β、γとし、
　　D={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
　　とするとき f(x)のガロア群が３次の対称群S_3に同型であるための
　　必要十分条件は、DがK内で平方数でないことである。これを示せ。

(2) δ^3={-b+√(-D/27)}/2, α=δ-a/(3δ)
とおくと、αはf(x)=0の根であることを示せ。
　　（δの取り方は３通りあるので、f(x)=0の３根が得られる。）

コメント(6)

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[1] mixiユーザー 12月29日 09:15

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/129356053059616329268.gif

m∈{-7,-5,-3,3,5,7}程度の●もかい●　を　是非　お願い致します。（但しKはQの或る拡大体です）

但し書き　の　　所以は；
>３章、問題3-4 （ガロア入門、エミール・アルティン著。寺田文行が「ちくま学芸文庫」と）
>(1)標数が0の体K上の規約　(既婚の既）方程式　f(x)=0 ,f(x)=x^3+ax+c　の分解体Eにおける
>　　３根をα、β、γとし、
>　　D={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
>　　とするとき f(x)のガロア群が３次の対称群S_3に同型であるための
>　　必要十分条件は、DがK内で平方数でないことである。これを示せ。

[2] mixiユーザー 12月29日 09:39

Eliminate[{x^3-x-1=0,y=x^(m)},x]を、
http://www.wolframalpha.com/　に代入してみる。

m=-7:y^3+y^2+7 y = 1

m=-5:y^3-4 y^2+5 y = 1

m=-3:y^3-2 y^2+3 y = 1

m=3:y^3-3 y^2+2 y = 1

m=5:y^3-5 y^2+4 y = 1

m=7:y^3-7 y^2-y = 1

[3] mixiユーザー 12月29日 09:44

f(x)=x^3+ax+c, D=-4a^3-27b^2

f(x)=x^3-x-1, だと、a=-1, c=-1

D=-4(-1)^3-27(-1)^2=4-27=-23

DはK内で平方数でないので、
f(x)のガロア群が３次の対称群S_3に同型
とのことである。

[4] mixiユーザー 12月29日 09:57

●もかい●
は、いまいち理解してないように思う。

αが解だと、σ(α)も解、σ^2(α)も解、σ^3(α)=α

でも、S_3は、3!=6個あるのでなかったか。

S_3は、置換で表せば、(1),(23),(12),(31),(123),(132)

これらは、それぞれ、0回で元通り、2回で元通り、3回で元通り。

[5] mixiユーザー 12月31日 00:21

ガロア入門、エミール・アルティン著。寺田文行訳。
比較的回答が丁寧なので、そのまま、写してみます。

２章、問題4-2
(1)
α+β=-γを用いて、
γ(α-β)^2=γ{(α+β)^2-4αβ}=γ^3-4αβγ
γ^3=-aγ-b,αβγ=-bを用いて-aγ+3bとなる。
したがって、
αβγD=αβγ*{(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
=γ*(α-β)^2*β*(γ-α)^2*α*(β-γ)^2
=(3b-aγ)(3b-aβ)(3b-aγ)
=27b^3-9ab^2(α+β+γ)+3a^2b(αβ+βγ+γα)-a^3αβγ
αβ+βγ+γα=aを用いて
-bD=27b^3+4a^3b
すなわち、D=-4a^3-27b^2

(2)
α+β+γ=0,αβ+βγ+γα=aから、
βγ-(β+γ)α=a-2α(β+γ)=a+2α^2
√D=(α-β)(β-γ)(γ-α)
=(α^2-(β+γ)α+βγ)(β-γ)
=(a+3α^2)(β-γ)
よって、
β+γ=-αとβ-γ=√D/{a+3α^2}
から、
β,γ∈Q(√D,α),
よって、B=Q(α,β,γ)⊂Q(√D,α).
逆も成り立つので、B=Q(√D,α).

３章、問題3-4
(1)
f(x)=x^3+ax+c=0が重根を持つときはD=0であり、
すべては明らかであるから重根をもたないとする。
２章、問題4-2より、
D∈K, E=K(α,√D)である。
√D∈Kならば、E=K(α)となり、(E/K)=3となってガロア群はS_3では
あり得ない。
√D∉Kのとき、(K(√D)/K)=2,(K(α)/K)=3であるから、√D∉K(α).
よって、(K(α,√D)/K)=6. よってガロア群はS_3に一致する。

(2)
(δ-a/(3δ))^3+a(δ-a/(3δ))+b=(1/δ^3)(δ^6+bδ^3-a^3/27)=0
の根がちょうど上に与えられたδ^3である。

[6] mixiユーザー 12月31日 00:27

δ^6+bδ^3-a^3/27=0
より、
δ^3={-b±√(b^2+4a^3/27)}/2

D=-4a^3-27b^2
とすると、
δ^3={-b±√(-D/27)}/2,

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