yasumathさんから、話題提供があったので、展開してみます。
2010年10月27日 13:41
http://
型の「ガロア群」絡みの 問題です；
http://
以下と 比較検討をお願い致します；
http://
「通常の解答はさておき」と記載されていますが
▼何故でしょうか？ また ◆通常の解答とは 如何なる解答でしょうか?
http://
は 「●もかい●」型の問でしょうか? それとも；
http://
2010年10月27日 13:41
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型の「ガロア群」絡みの 問題です；
http://
以下と 比較検討をお願い致します；
http://
「通常の解答はさておき」と記載されていますが
▼何故でしょうか？ また ◆通常の解答とは 如何なる解答でしょうか?
http://
は 「●もかい●」型の問でしょうか? それとも；
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コメント(2)
ここで、α=√(i+√3)
とすると、
α^2=(i+√3)
α^4=(i+√3)^2=2+2√3i
1/α^4=(1/2){1/(1+√3i)}=(1/2){(1-√3i)/4}=(1/8)(1-√3i)
α^4+(16/α^4)=2+2√3i+2-2√3i=4
したがって、
x^8-4x^4+16
=x^8-{α^4+(16/α^4)}x^4+16
=(x^4-α^4){x^4-(16/α^4)}
=(x^2-α^2)(x^2+α^2){x^2-(4/α^2)}{x^2+(4/α^2)}
=(x-α)(x+α)(x-αi)(x+αi){x-(2/α)}{x+(2/α)}{x-(2i/α)}{x+(2i/α)}
これらは、
√(i+√3),-√(i+√3),√(-i+√3),-√(-i+√3)
√(i-√3),-√(i-√3),√(-i-√3),-√(-i-√3)
になっている。
とすると、
α^2=(i+√3)
α^4=(i+√3)^2=2+2√3i
1/α^4=(1/2){1/(1+√3i)}=(1/2){(1-√3i)/4}=(1/8)(1-√3i)
α^4+(16/α^4)=2+2√3i+2-2√3i=4
したがって、
x^8-4x^4+16
=x^8-{α^4+(16/α^4)}x^4+16
=(x^4-α^4){x^4-(16/α^4)}
=(x^2-α^2)(x^2+α^2){x^2-(4/α^2)}{x^2+(4/α^2)}
=(x-α)(x+α)(x-αi)(x+αi){x-(2/α)}{x+(2/α)}{x-(2i/α)}{x+(2i/α)}
これらは、
√(i+√3),-√(i+√3),√(-i+√3),-√(-i+√3)
√(i-√3),-√(i-√3),√(-i-√3),-√(-i-√3)
になっている。
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