独学ノート（土筆の子）コミュの類体の構成問題

クロネッカーの青春の夢や、虚数乗法についてうまくまとめてあるな
と思ったので先日、写しておいた。
改めて、掲載しておく。

類体の構成問題　（数論ＩのＰ３１９の写経）
Ｑの最大Abel拡大はKroneckerの定理により、Ｑ(ζ_N)の合併として得られるが、一般の代数体Ｋについては、Ｋの最大Abel拡大を具体的に得るにはどうすればよいかという問題は、「類体の構成問題」と呼ばれる未解決の問題である。類体論はAbel拡大の具体的な作り方については、あまり語ってはくれない。
「類体の構成問題」とRiemann予想は1900年の国際会議で、Hilbertが20世紀に解くべき問題として提出した23の問題のうち、未解決のまま残った、数少ない問題のうちの２つである。

有理数体の最大Abel拡大は１のベキ根を用いて得られるが、１のベキ根は乗法群の等分点と考えられる。虚２次体Ｋの場合には、Ｋの最大Abel拡大が虚数乗法をもつ楕円曲線の等分点をＫにつけ加えることにより得られるだろうというのが、Kroneckerの青春の夢と言われた問題であった。（等分点というのは何倍かすると０になる点のことである。）これは高木貞治が類体論を建設することにより解決された。たとえばＱ(ζ_3)の最大Abel拡大は、楕円関数y^2=x^3+1の等分点の座標をすべてＱ(ζ_3)に添加することにより得られるのである。
この虚数乗法論と呼ばれる理論は、楕円関数論の高次元化であるAbel多様体の等分点を使って、志村―谷山によって、虚２次体に対する理論から、総実代数体の総虚２次拡大体に対する理論へと拡張された。

類体の構成問題は、しかし実２次体に対してさえも解かれていない。なお、代数体でなく、有限体上の１変数代数関数体の場合には、楕円曲線の類似物であるDrinfeld加群と呼ばれるものの等分点を使って最大Abel拡大が得られることが、Drinfeldによって示されている。
局所体についても、楕円曲線の類似物である形式群というものの等分点を使って最大Abel拡大が得られることが、Lubin-Tateによって示されている。