独学ノート（土筆の子）コミュの多項式環とゼータ関数

数論Ｉ（岩波書店）の§７．４、Ｐ２７２の記述が興味を引かせる。曰く、

ここでは、ζを見てみよう。この研究は、２０代になったばかりの
ドイツの青年Kornblum (1890-1914)が第一次世界大戦にて戦死する
前に書き残した論文に始まった。
（その論文はLandauの手でKornblumの死後の1919年に出版された）

Kornblumは次の対応を考えた。
F_p(T) ←→ Z
最高次係数１の多項式←→自然数
最高次係数１の既約多項式h←→素数
ノルムN(h)=p^{deg(h)}←→N(p)=|p|
ζ_(F[T])(s)=Π[h:既約モニック](1-N(h)^(-s))^(-1)
←→ζ_z(s)=Π[p:素数](1-p^(-s))^(-1)=ζ(s)

Kornblumは次の結果を証明した。
(1) ζ_(F[T])(s)=(1-p^(1-s))^(-1)
(2) (Dirichletの素数定理の類似）　
　　a(T),b(T)∈F_p[T]が互いに素な０でない多項式の時、
　　h(T)≡b(T) mod a(T)
となる最高次係数１の既約多項式h(T)が無限個存在する。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 10月06日 20:20

河合塾では、以下の数学講座があるらしい。驚いた。
件の数論Ｉでもアデール環の導入が一つの山場だが、なんのことか
まだ皆目分からない状態だ。
完備化というのは、微積分が可能になるといった程度の意味かしら？

講座コード： M23（土）
この講座の前半では、「局所コンパクトアーベル群上の調和解析」という理論を学びます。これは実変数関数に対するFourier変換や、周期関数に対するFourier級数の理論を大きく一般化したものであり、現代解析学において重要な地位を占めています。また、群、位相、測度という3種の構造が組み合わされることにより、Fourier逆変換公式、Plancherelの定理、Pontryagin双対定理などといった非常に美しい定理が次々に証明されていく様は圧巻といえるでしょう。

講座の後半では、こうして得られた調和解析の理論を数論に応用します。そのため、まず代数体の素点と完備化という概念を導入し、さらにそれらをまとめてアデール環と呼ばれる局所コンパクト環を構成します。このアデール環やその乗法群であるイデール群において調和解析を展開することにより、L関数の解析接続、関数等式といった解析的数論の重要な結果が導かれます。優美な理論と目覚ましい応用、現代数学の二つの醍醐味をたっぷりと味わいましょう。

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