独学ノート（土筆の子）コミュの位相空間

数論Ｉの６章を読んでいます。
とにかく抽象的になってきて、好く判らない。
こういうときは、写経です。

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位相空間が分離的：任意の2元xとyに対し，2つの近傍U_1，U_2で
x∈U_1，y∈U_2，U_1∩U_2=φ　となるものが存在する．

位相空間がコンパクト：部分集合Xの任意の開被覆Σ_{λ∈Λ}U_λに対し，
Λの有限部分集合Λ'で　X⊂Σ_{λ∈Λ’}U_λ　となるものがとれる．

p進体Q_pの有限次拡大体は局所コンパクトになる。

|a|_Kが　Cによらずaにのみよる数として定まる根拠は？
局所コンパクト体Kの不変測度をμとすると、
C→μ(aC)も不変測度である。（これをμ'とおく。）
μ'=cμとなる正の実数cが存在する。

局所コンパクト群には左不変測度が存在し，定数倍を除いて一意である．
一意性の証明は，1936年にノイマンがおこなった．

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素数p(≠2)が適当な整数x,yを用いて、p=x^2＋y^2と表されるための
必要十分条件はp≡1 mod4である。
以下、p(≠2)を素数、i=√-1,K=Ｑ,A=Ｚ,L=Ｑ(i),B=Ｚ[i]とおく、

(Case1)p≡1 mod4であればｐ=(p)AのFrobenius置換が単位元である。
(Case2)p≡3 mod4であればｐ=(p)AのFrobenius置換は単位元でない。
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代数体のKのGlois拡大をLとし,それぞれの整数環をA,Bとする。
Aの素イデアルpと、Bの素イデアルqがあって、qがpの上にあるという。
Bの素イデアルqがKのある素イデアルの上で分岐しているとき,
「K上分岐している」と意味する。
また,Aの素イデアルpがBにおいて分岐しているという言い方をする。

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p.200第6章問題 4

mは1以外の平方数でわれない1でない整数、
pはmをわらない奇素数、K=Ｑ,A=Ｚ,L=Ｑ(√m)とする。

f(T)=T^2-m∈K[T]は最高次係数が1の既約多項式で、
Lの整数環をB[=Ｚ[√m](m≡2,3 mod 4,=Ｚ[(1＋√m)/2](m≡1 mod 4)］
とすると、根√m∈Bを持つ。

Aのイデアル(p)は素イデアルである。
かつ、体の2次拡大L/KはGalois拡大である。

従って、命題6.41(2)を適用することが出来、
(p)がLにおいて完全分解する
⇔f mod (p)がA/(p)=F_pにおいて根を持つ。

一方、
f mod (p)がA/(p)=F_pにおいて根を持つ。
⇔∃a∈Ｚ=A,a^2-m≡0 mod p
⇔平方剰余(m/p)=1

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Galoi拡大体における素イデアル分解はHirbert理論ともよばれている。
系6.25に出てくる量e,f,gについては、分解群や惰性群のことなど、解説がいる。次の本に詳しい。小野孝｢数論序説｣裳華房 1987年
代数的整数論の入門書として,定評のある本。代数体を扱っていて局所体などは出てこない。

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p≡±1 mod 5のとき、
f(T)=T^2-T-1 mod pは(A/(p))[T]で一次式に分解出来る。
この次数 (ここでは1）が、[B/q_i:A/(p)]に等しい。
つまりB/q_iとA/(p)は同型

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第6章問5＝
K=Ｑ、Kの整数環をA=Ｚ、L=Ｑ([3]√3)とおく。
B'≡A[[3]√3]=Ｚ[[3]√3]はK上線形空間としてLを生成し、A⊂B'である。

f(T)=T^3-3∈A[T]は根α=[3]√3をB'に持ち、f'(α)=3α^2
Aの任意の素イデアルは(p)[pは素数]である。

(Case1)p=3のとき
f(T)=T^3-3∈A[T]は(p)についてのEisenstein多項式である。

(Case2)p≠3のとき
9=3α^3=(3α^2)α∈f'(α)B'かつ9∈A
であるが、(p)は9を含まない。

(まとめ)Aの任意の素イデアル(p)[pは素数]について、p.201命題6.46の
条件(*)が成立し、Lの整数環BはB=B'(=Ｚ[[3]√3])となる。

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足立恒雄,三宅克哉「類体論講義」日本評論社
第?部に類体論の歴史というのがある。

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pを素数とする。
K=Ｑ_pは付値ord_pに関して完備な離散付値体。

Kの付値環はＺ_pで、0でない素イデアルはpＺ_pである。
従って、Kの剰余体はF=Ｚ_p / pＺ_pであり、
これはF_3に同型である。

Fの有限次分離拡大体EのFに対する拡大次数をnとすると、
E=F_(p^n)
従って、K=Ｑ_pのn次不分岐拡大Lについて、
[L:K]=[E:F]

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第6章例6.56＝
n=2,p=3とおく。
F=F_3, E=F_9, h(T)=T^2+1∈F[T]

h(0)=1≠0,h(1)=2≠0,h(2)=5=2≠0 mod.3
からh(T)∈F[T]は既約であり、
F[T]/(h)≡F_9［“≡”は体の同型を表すものとする。］

f(T)=T^2+1∈Ｚ_3[T]とおくと、f(T) mod 3≡h(T)から、
E=F_9が
f(T)の根√-1をK=Ｑ_3に添加した体L=Ｑ_3(√-1)の剰余体になる。

すなわち、Ｑ_3(√-1)はＱ_3の2次不分岐拡大であり、このような体が
ただひとつであることは、F_3の2次拡大体がただひとつであることから
わかる。　　

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