独学ノート（土筆の子）コミュの群、環、体

ヘリウムさん
最近は、ガロア理論の関係図書がたくさん出ていますね。
行きつ戻りつですが、
わたしも、なんとか理解を深めたいと思っています。

ガロア理論は高校時代から、なんとか理解してみたいと思っている
長年の懸案です。数学辞典には以下のようにありました。

16 世紀に3 次，4 次方程式の一般的解法が得られ
てから，永く未解決に残されてきた5 次方程式の解
法については，19 世紀初頭P. Ruffini およびN. H.
Abel によって一般にはベキ根のみでは解けないこ
とが示され，ひき続いて´E. Galois は方程式の根が
ベキ根によって構成される仕組を根の間のある置
換群（すなわちGalois 群）の構造によって分析する
一般的な原理を確立した．これがガロア理論の成立
であって，先行するJ. L. Lagrange，Ruffini，Abel
らの研究を大成するとともに，近代代数学への道を
開いた画期的な業績であった．

何のことかは定かではありませんが、数学辞典には
要領よくまとめています。

定義
体L の自己同型の群G（演算は写像の合成）について，
L の部分体F(G)={a∈L|a^σ =a, σ∈G} をG の不変体
（invariant field）と呼ぶ．L,L'を体Kの拡大体
とするとき，K の元を動かさないLからL' の中への
同型をK 上の同型という．L がK の正規拡大ならば，
L からL' の中へのK 上の同型はL のK 上の自己同型
になる．代数拡大 L/K が正規拡大のとき，L のK 上
の自己同型の全体のなす群G(L/K) をL/K のGalois 群
（Galois group）と呼ぶ．また，分離的かつ正規で
ある代数拡大をGalois 拡大（Galois extension）と
呼ぶ．L/K を有限次正規拡大とすると，L/K の中間体
M,N でM/K がGalois 拡大，N/K が純非分離拡大で
かつL∼=M⊗K N（加群K）を満たすものが存在する．
このとき，G(L/K)=G(L/N)∼=G(M/K) でG(L/K) の
位数はL/K の分離次数[M:K] に等しい．
L/K がGalois 拡大であるためにはG(L/K) の不変体が
K であることが必要十分である．G(L/K) がアーベル群，
巡回群であるGalois 拡大L/K をAbel 拡大（Abelian extension），
巡回拡大（cyclic extension）などという．

数論１の付録に納得させる例がありました。

K=Q, L=Q(√2,√3)とすると、[L:k]=4, G(L/K)={σ_1,σ_2,σ_3,σ_4}
ここにσ_1は恒等写像、σ_2,σ_3,σ_4は次の性質で特徴づけられるLの
K上の自己同型である。
σ_2(√2)=√2, σ_2(√3)=-√3,
σ_3(√2)=-√2, σ_3(√3)=√3,
σ_4(√2)=-√2, σ_4(√3)=-√3,

LはKのガロア拡大であり、ガロア群の群構造は
σ_2^2=σ_3^2=σ_4^2=σ_1=1, σ_4=σ_2σ_3=σ_3σ_2
で与えられ、
G(L/K)∼=Z/2Z x Z/2Z

-----------------------
Lを体Kの有限次ガロア拡大であるとし、G=G(L/k)とおく、
このとき２つの集合の間の全単射
{K⊂M⊂Lとなる体M} ←→{Gの部分群H}
がM←→H

ここに
H={σ∈G; すべてのx∈Mについてσ(x)=x},
M={x∈L; すべてのσ∈Hについてσ(x)=x},
によって与えられる。
---------------------

K=Q, L=Q(√2+√3)のとき、上の対応M←→Hは、
Q(√2+√3)←→{σ_1},
Q(√2)←→{σ_1,σ_2},
Q(√3)←→{σ_1,σ_3},
Q(√6)←→{σ_1,σ_4},
Q ←→ {σ_1,σ_2,σ_3,σ_4}

このようにガロア理論は、ガロア群の力によって中間体
(K⊂M⊂Lとなる体M)を浮きぼりにしようとするものである。

ヘリウムさん

まさに逆進対応ですね。

訂正です。+を,に替えてくださいませ。

>K=Q, L=Q(√2+√3)のとき、上の対応M←→Hは、
>Q(√2+√3)←→{σ_1},
は、
K=Q, L=Q(√2,√3)のとき、上の対応M←→Hは、
Q(√2,√3)←→{σ_1},

まずは、逆進性についての考察です。

『ガロア理論』J.ロットマン，関口次郎訳，Springer-Verlag 東京発行
の２００５年頃の青空学園読書会では、こんな議論がありました。この読書会では２００２年ごろに、『群の発見』(原田耕一郎著，岩波書店)にも取り組みました。その記録も残っています。商群ということかもしれませんね。

基本定理（定理64）は
> 体の拡大列とGal(E/F)の部分群列の要素が1対1に対応し、
> Lat(E/F) ：F⊂B⊂E
> Sub(Gal(E/F))：Gal(E/F)⊃Gal(E/B)⊃Gal(E/E)=｛1｝

> 群の発見のテキストは、7,8行目の表記法でした。
> この対応が印象強くて、忘れずにいました。

普通はこの対応と同型定理がガロアの基本定理です．
定理64の表現は，ちょっと大げさという気がします．
束の言葉を使う積極的な意味があるのでしょうか．

＞B/Fがガロア拡大⇔Gal(E/B)はGal(E/F))の正規部分群
＞かつ、Gal(E/F)/Gal(E/B)≡Gal(B/F)
＞［∵定理58、≡は同型］


--------
岩波数学辞典第四版のＰ１８３には以下のようですが、
「1-1 かつ束双対同型」なる言葉をつかい。
L⊃M⊃K, [L.M],[M,K],[L,K] で、
G(M/K) ≡G(L/K)/G(L/M) の同型をいっているようですね。

C. ガロア理論の基本定理
L/K が有限次Galois 拡大，G がそのGalois 群のとき，L/K の中間体M とG の部分群H とは，H=G(L/M), M=F(H) の関係で1-1 かつ束双対同型に対応する．
拡大次数[L:M] はH の位数に等しく（特に[L:K]=(G の位数)），[M:K] は群指数(G:H) に等しい．共役部分体には共役部分群が対応する．特にM/K がGalois 拡大であることと，
H がG の正規部分群であることとは同値であり，このときG(M/K) はG/H と同型となる．

ヘリウムさん

Galois 群と可解群は別物で、
Galois 群が可解群になるような５次方程式もある
ということのようですね。

岩波の数学辞典より、

I. 可解群
群G の交換子群をG1，G1 の交換子群をG2，i≧2 のとき
Gi =[Gi−1,Gi−1] とするとき，
G1⊃G2⊃··· というG の正規部分群の列が得られる．
ある自然数r に対してGr={e} となるとき，G を可解群
（solvable group）という．G(=G0),G1, ···,Gr(={e})
は，剰余群Gi/Gi+1 (i=0,1, ···, r−1) がすべてアー
ベル群となる正規列である．群G が可解群であれ
ばG の任意の部分群は可解群，また任意の剰余群
も可解群である．逆に群G の正規部分群H および
その剰余群G/H がともに可解群ならばG も可解群
である．有限群G に対しては，G が可解群である
ことは，G の組成列G⊃H1⊃H2 ···⊃Hs={e} にお
いて剰余群G/H1,H1/H2, ···,Hs−1/Hs の位数がす
べて素数であるという条件と同値である．標数0
の体における既約方程式のすべての根が根号により
表示されるための，すなわち代数的に解けるための
必要十分条件は，そのGalois 群が可解群であるこ
とである。

好く判りませんが、アナロジーでやってみました。 たいへんです。

-------------------
K=Q, L=Q(√2,√3,√5)とすると、
[L:k]=8, G(L/K)={σ_1,σ_2,σ_3,σ_4, σ_5,σ_6,σ_7,σ_8}
ここにσ_1は恒等写像、σ_2,σ_3,σ_4, σ_5,σ_6,σ_7,σ_8は次の性質で特徴づけられるLのK上の自己同型である。
以下はひとつだけマイナス。
σ_2(√2)= -√2, σ_2(√3)=√3, σ_2(√5)=√5, ; (-,+,+)
σ_3(√2)=√2, σ_3(√3)=-√3, σ_3(√5)=√5, ; (+,-,+)
σ_4(√2)=√2, σ_4(√3)=√3, σ_4(√5)=-√5, ; (+,+,-)
以下は２つマイナス。
σ_5(√2)=-√2, σ_5(√3)=-√3, σ_5(√5)=√5, ; (-,-,+)
σ_6(√2)=-√2, σ_6(√3)=√3, σ_6(√5)=-√5, ; (-,+,-)
σ_7(√2)=√2, σ_7(√3)=-√3, σ_7(√5)=-√5, ;(+,-,-)
下はみなマイナス。
σ_8(√2)=-√2, σ_8(√3)=-√3, σ_8(√5)=-√5, ;(-,-,-)

LはKのガロア拡大であり、ガロア群の群構造は
σ_2^2=σ_3^2=σ_4^2=σ_5^2=σ_6^2=σ_7^2=σ_8^2=σ_1=1, (+,+,+)

σ_5=σ_2σ_3=σ_3σ_2 (-,-.+)
σ_6=σ_2σ_4=σ_4σ_2 (-,+,-)
σ_3=σ_2σ_5=σ_5σ_2 (+,-,+)
σ_4=σ_2σ_6=σ_6σ_2 (+,+,-)
σ_8=σ_2σ_7=σ_7σ_2 (-,-,-)
σ_7=σ_2σ_8=σ_8σ_2 (+,-,-)

σ_7=σ_3σ_4=σ_4σ_3 (+,-,-)
σ_2=σ_3σ_5=σ_5σ_3 (-,+,-)
σ_8=σ_3σ_6=σ_6σ_3 (-,-,-)
σ_4=σ_3σ_7=σ_7σ_3 (+,+,-)
σ_6=σ_3σ_8=σ_8σ_3 (-,+,-)

σ_8=σ_4σ_5=σ_5σ_4 (-,-,-)
σ_2=σ_4σ_6=σ_6σ_4 (-,+,+)
σ_3=σ_4σ_7=σ_7σ_4 (+,-,+)
σ_5=σ_4σ_8=σ_8σ_4 (-,-,+)

σ_7=σ_5σ_6=σ_6σ_5 (+,-,-)
σ_6=σ_5σ_7=σ_7σ_5 (-,+,-)
σ_4=σ_5σ_8=σ_8σ_5 (+,+,-)

σ_5=σ_6σ_7=σ_7σ_6 (-,-,+)
σ_3=σ_6σ_8=σ_8σ_6 (+,-,+)

σ_2=σ_7σ_8=σ_8σ_7 (-,+,+)

で与えられ、
G(L/K)∼=Z/2Z x Z/2Zx Z/2Z

K=Q, L=Q(√2,√3,√5)のとき、上の対応M←→Hは、
Q(√2,√3,√5)←→{σ_1},
Q(√2,√3)←→{σ_1,σ_2,},
Q(√2,√5)←→{σ_1,σ_3,},
Q(√3,√5)←→{σ_1,σ_4},
Q(√2)←→{σ_1, σ_3,σ_4,σ_7},
Q(√3) ←→{σ_1, σ_2,σ_4,σ_6}
Q(√5)←→{σ_1, σ_2,σ_3,σ_5},
Q(√6)←→{σ_1, σ_4,σ_5,σ_8},
Q(√10) ←→{σ_1, σ_3,σ_6,σ_8},
Q(√15)←→{σ_1, σ_2,σ_7,σ_8},
Q ←→ {σ_1,σ_2,σ_3,σ_4,σ_5,σ_6,σ_7,σ_8}
---------------------------

数論Ｉのテキストでは、Q(√2,√3,√5)と拡大するのでなく、
円分体Q(ζ)で拡大を考えています。例えば、Q(ζ_8)や、Q(ζ_15),Q(ζ_20)。
そうすると、自然数の巡回群と同型になって、モードの計算に持って行けるようです。ζが原始根になっているのが見通しを良くしていると思われます。

Q(ζ_8)では、
Gal(Q(ζ_8)/Q))〜＝(Z/8Z)^(x)={1; 3; 5; 7}
で、
Q(ζ_8)=Q(√2,√-1)⊃Q(√2)⊃Q
Q(ζ_8)=Q(√2,√-1)⊃Q(√-1)⊃Q

Q(ζ_15)では、
Gal(Q(ζ_15)/Q))〜＝(Z/15Z)^(x)={1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14}
で、
Q(ζ_15)⊃Q(√5,√-3)⊃Q(√-3)⊃Q
Q(ζ_15)⊃Q(√5,√-3)⊃Q(√5)⊃Q
Q(ζ_15)⊃Q(√5,√-3)⊃Q(√-15)⊃Q や、
Q(ζ_15)⊃Q(ζ_5)⊃Q(√5)⊃Q
Q(ζ_15)⊃Q(ζ+ζ^(-1))⊃Q(√5)⊃Q
の塔が現れます。


Q(ζ_20)では、
Gal(Q(ζ_15)/Q))〜＝(Z/20Z)={1; 3; 7; 9; 11; 13; 17; 19}
で
Q(ζ_20)⊃Q(√5,√-1)⊃Q(√5)⊃Q
Q(ζ_20)⊃Q(√5,√-1)⊃Q(√-1)⊃Q
Q(ζ_20)⊃Q(√5,√-1)⊃Q(√-5)⊃Q や、
Q(ζ_20)⊃Q(ζ_5)⊃Q(√5)⊃Q
Q(ζ_20)⊃Q(ζ+ζ^(-1))⊃Q(√5)⊃Q
の塔が現れます。

そして、例えば
体K1 =Q(√5,√-1)で素数Ｐが完全分解する条件
として、P≡1,9 (mod: 20)
といった議論をガロア理論の上に展開していくのが数論のようです。

以上は、数論Ｉ（加藤和也、黒川重信、斎藤毅著）の第５章より、

ヘリウムさん
ざっと見で結構です。時間があったのでやってみましたが疲れました。

可能でしたら、Ｍapleで、N=30の
円周等分多項式（英cyclotomic polynomial）を求めていただけませんか。
合っているか確かめたいのです。

{(x^15+1)(x+1)}/{(x^5+1)(x^3+1)}

ヘリウムさん
ありがとうございました。

F_30(x)=x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1
ですね。

１の３０重根ζ_30をζとして、
F_30（ζ+ζ^(−1)）=0
になってくれるかなと思って計算していましたが、無理そうです。

一方、
F_30(ζ)=0 なので、
ζ^8+ζ^7−ζ^5−ζ^4−ζ^3+ζ+1=0 Ａ式
Ａ式をζ^8で割ると、
1+ζ^(-1)−ζ^(-3)−ζ^(-4)−ζ^(-5)+ζ^(-7)+ζ^(-8)=0
を得るので、
これは、F_30(1/ζ)=0を意味し、
1/ζ=ζ^(-1) も解である。ことが云えました。