独学ノート（土筆の子）コミュの数論I ―― Fermatの夢と類体論 ――

一時帰国で、読みかけの同書をマニラに持ってきた。
一昨日から、再度、読み始めた。

数論I ―― Fermatの夢と類体論 ――
加藤　和也，黒川　信重，斎藤　毅
体裁＝A5判・上製・カバー・426頁
定価 4,620円（本体 4,400円 + 税5%）
2005年1月7日、ISBN4-00-005527-5 C3341

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古代ギリシアの時代より人は数のふしぎさに素朴な驚きを持つと同時に惹きつけられてきた．それは数の世界がとても奥深く豊かであるからである．数の世界の深さに気づき数々の発見をなした近代数論の始祖フェルマの仕事を紹介し，さらに深く進化していく現在の数論の動向を解説する．講座現代数学の基礎からの単行本化．
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昨日は、以下に出会った。

○代数体のイデアル群は有限群である。

○代数体のイデアル群の位数を、その代数体の類数(class number)と呼ぶ。

「初等整数論」高木貞治著も持ってきたので、年末に一時帰国するころには、両方読み終えていたいと思っている。

コメント(2)

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[2] mixiユーザー 08月27日 16:22

ヘリウムさん
「初等整数論」高木貞治著をアマゾンで引いてみると、以下の書評がありました。的確な紹介だと思いました。

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本書は、初版が1931年に発行され、著者1960年の没後である1971年に改定されて第2版が発行されました。Gaussの「Disquisitiones Arithmetica(1801)」以来130年でこれほど完成度の高い教科書が書かれたのには驚くばかりです。
内容について幾つか記しておきます。

第1章は18のセクションから成り、「§13．平方剰余の相互法則」がメインテーマとなっています。§４の「附記素数の分布（p.21）」で「Dirichletの（算術級数の）定理」が、§18では指数と指標が紹介されていて、後続の章への布石となっています。第2章では古典的な連分数論を展開し、同時にモジュラー変換も紹介して第3章への準備をしています。第3章では二元二次不定方程式の解法（Gaussの方法）を説明するのに、「二次無理数を直接扱う方法」を採っていますが「二次形式との連絡」もしっかり捕っています。第4章「二次体K(i),K(√-3)の整数」では、複素整数の理論の概要、即ち代数的整数論の起源、を示し、§38ではフェルマーの最終定理も紹介しています。第5章と附録は圧巻です。[1]ノルム剰余を導入してGaussの「種の理論」（Gaussの定理：定理6.9）を説明し、[2]ζ関数、L関数とガウス和を導入して類数公式を説明し、[3]解析的整数論の端緒ともなった「Dirichletの（算術級数の）定理」の函数論的証明も示しています。

本書を読了後、小野孝「数論序説」も併せて読まれると得る所が多いでしょう。Gaussの「種の理論」の説明は、本書では類体論の成果から従来と逆向きに説明して簡易化していますが、「数論序説」ではコホモロジーを使う方法が示されています。指標とコホモロジーのどちらを使っても同じである事がGaussの定理（定理6.9）の主張であることが判り易く書かれています。
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岩波の数学辞典を買うとＣＤがついていました。
第４版は２０００ページからの本ですが３８Ｍと云うのでその手軽さに驚きました。（因みに第３版は２８４Ｍ）そこの、代数体の整数論の、K. 円分体の整数論の最後にこうあります。上記、付録の[2]のことのようですね。

2次体Q(√m) は円体であり，Gauss の和によりQ(√m)⊂Q(ζ|d|) という埋め込みが得られる．ここで，d はQ(√m) の判別式である．したがって，2 次体の類数の計算や，平方剰余の相互法則の証明を，円分体の理論から導くことができる．

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