曲面とか曲線を描いたり、式を計算するのに役立つソフト
に関しての情報です。フリーソフトを中心にしてます。
■グレブナ基底計算など
RISA/ASIR
http://
... 代数曲線の描画機能もあります
CoCoA
http://
Singular
http://
■曲線・曲面の描画
surf http://
POV-Ray http://
... CGソフトで、代数曲面の描画機能もあります。
・足りないと思うので他にあったらここへどうぞ。
・速さなど機能比較などもどうぞ。
個人的に、RISA/ASIRよりCoCoAのほうが速い場合
が結構あると思います。
に関しての情報です。フリーソフトを中心にしてます。
■グレブナ基底計算など
RISA/ASIR
http://
... 代数曲線の描画機能もあります
CoCoA
http://
Singular
http://
■曲線・曲面の描画
surf http://
POV-Ray http://
... CGソフトで、代数曲面の描画機能もあります。
・足りないと思うので他にあったらここへどうぞ。
・速さなど機能比較などもどうぞ。
個人的に、RISA/ASIRよりCoCoAのほうが速い場合
が結構あると思います。
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コメント(42)
皆様、連休をいかがお過ごしですか? (↑返事書き忘れました)
私は連休を使ってプログラム言語のRubyを
身に付けようと思って少し勉強してみました。
練習で有限体上の行列環の右(左)イデアルとか計算させて
みたりしています。Rubyには行列や集合の演算を
楽に行えるメソッドが用意されていて快適です。
ところで本題ですが、Rubyでグレブナ基底を計算
できるライブラリがあり、早速使って見ました。
神戸大の児玉氏の以下のサイトから得られます。
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/kodama/tips-RubyPoly.html
例えば次のような使い方が出来ます。
(デカルトの正葉線のパラメータ表示から変数tを
消去しています)
#######################################################
require "polynomialm.rb"
require "gbasem.rb"
Monomial.setTermOrder("deglex")
list=[PolyM("-x*(t^3+1)+3*t"),PolyM("-y*(t^3+1)+3*t^2")]
GBase.getGBase(list)
GBase.printGb
#######################################################
・実行結果
GBase[
x^(3)+y^(3)-3x*y
y^(2)*t+x^(2)-3y
y*t^(2)+x-3t
x*t-y
]
Rubyをお使いの方でまだ知らなかったという方も、
これから使おうという方も、
この機会に是非お試し下さい。
私は連休を使ってプログラム言語のRubyを
身に付けようと思って少し勉強してみました。
練習で有限体上の行列環の右(左)イデアルとか計算させて
みたりしています。Rubyには行列や集合の演算を
楽に行えるメソッドが用意されていて快適です。
ところで本題ですが、Rubyでグレブナ基底を計算
できるライブラリがあり、早速使って見ました。
神戸大の児玉氏の以下のサイトから得られます。
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/kodama/tips-RubyPoly.html
例えば次のような使い方が出来ます。
(デカルトの正葉線のパラメータ表示から変数tを
消去しています)
#######################################################
require "polynomialm.rb"
require "gbasem.rb"
Monomial.setTermOrder("deglex")
list=[PolyM("-x*(t^3+1)+3*t"),PolyM("-y*(t^3+1)+3*t^2")]
GBase.getGBase(list)
GBase.printGb
#######################################################
・実行結果
GBase[
x^(3)+y^(3)-3x*y
y^(2)*t+x^(2)-3y
y*t^(2)+x-3t
x*t-y
]
Rubyをお使いの方でまだ知らなかったという方も、
これから使おうという方も、
この機会に是非お試し下さい。
KNXM様・あまてぃあす様
ご紹介及びフォローをどうもありがとうございます。
豊富なソフトウェアの機能を持て余すことなく
どう使いこなすかがますます重要になるのでしょう。
> クラスライブラリとして数式処理機能を備えたものが
> 徐々に増えてきたようです。
こういった言語で既に公開されていて、安定して使えて
再配布もできるといったものがございましたら、
このトピックスにてご紹介下さい。
個人的な意見としましては数式処理ソフト固有の
スクリプト言語ですと、Visual Studioやeclipceの
ような快適なコーディングはなかなか実現しにくい
のではというふうに思います。
Rubyはeclipceでも使えるのでそのあたりを期待し
ていたりしました。
ご紹介及びフォローをどうもありがとうございます。
豊富なソフトウェアの機能を持て余すことなく
どう使いこなすかがますます重要になるのでしょう。
> クラスライブラリとして数式処理機能を備えたものが
> 徐々に増えてきたようです。
こういった言語で既に公開されていて、安定して使えて
再配布もできるといったものがございましたら、
このトピックスにてご紹介下さい。
個人的な意見としましては数式処理ソフト固有の
スクリプト言語ですと、Visual Studioやeclipceの
ような快適なコーディングはなかなか実現しにくい
のではというふうに思います。
Rubyはeclipceでも使えるのでそのあたりを期待し
ていたりしました。
非線型都市様、
> こういった言語で既に公開されていて、安定して使えて
>再配布もできるといったものがございましたら、
>このトピックスにてご紹介下さい。
では、まずは国産のものから
Python 上で動く数論ツールとして NZMATH というプロジェクトがあり、
首都大学東京で開発、公開されています。ライセンスはBSDです。
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/nzmath/
大部分は英語ですが、UserManual もあります。
http://nzmath.sourceforge.net/doc/?UserManual
日本語の解説については、ワークショップの講演記録がこちら。
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/%7Etetsushi/presentations/okayama2005/
今後がとても楽しみなプロジェクトのひとつです。
> こういった言語で既に公開されていて、安定して使えて
>再配布もできるといったものがございましたら、
>このトピックスにてご紹介下さい。
では、まずは国産のものから
Python 上で動く数論ツールとして NZMATH というプロジェクトがあり、
首都大学東京で開発、公開されています。ライセンスはBSDです。
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/nzmath/
大部分は英語ですが、UserManual もあります。
http://nzmath.sourceforge.net/doc/?UserManual
日本語の解説については、ワークショップの講演記録がこちら。
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/%7Etetsushi/presentations/okayama2005/
今後がとても楽しみなプロジェクトのひとつです。
メニューの日本語化方法についてですが、本当ならデフォルトの言語設定を読み込んで自動的に日本語で起動するはずなんですが、なぜかうまくいきません。後で原因をチェックしてみますが今のところオプションで言語を指定して起動してください。
具体的にはコマンドラインで .jar ファイルが保存してあるディレクトリに移動して
java -jar -Duser.language=jp 3D-XplorMath-J.jar
と入力してください。それから、アニメーションを描かせようとするとメモリーを大量に使うので、あらかじめメモリーの割り当てを増やして起動することをお勧めします。次のようにオプションで指定してください。
java -jar -Xmx256m 3D-XplorMath-J.jar
今日ようやく時間がとれたので、日本語のウェブページを更新しました。こちらにも日本語で起動する方法を書いておきました。
http://tmugs.math.metro-u.ac.jp/s-3dxm/j/index-j.html
よろしくお願いします。
具体的にはコマンドラインで .jar ファイルが保存してあるディレクトリに移動して
java -jar -Duser.language=jp 3D-XplorMath-J.jar
と入力してください。それから、アニメーションを描かせようとするとメモリーを大量に使うので、あらかじめメモリーの割り当てを増やして起動することをお勧めします。次のようにオプションで指定してください。
java -jar -Xmx256m 3D-XplorMath-J.jar
今日ようやく時間がとれたので、日本語のウェブページを更新しました。こちらにも日本語で起動する方法を書いておきました。
http://tmugs.math.metro-u.ac.jp/s-3dxm/j/index-j.html
よろしくお願いします。
surferのGalleryの曲面には、本コミュニティでは登場しなかったような
曲面が多数あります。
surferのドキュメントの Eine Chmutov Oktik の文章から引用しますと、
"Auch in der Gleichung kann man dies recht leicht erkennen:
Chm_d : T_d(x)+T_d(y)+T_d(z)+1=0.
wobei T_d das sogenannte Tchebychev Polynom ist (Build links)."
とあります。
このT_dはT_8(x)=128*x^8-256*x^6+160*x^4-32*x^2+1で、
これをほかにいろいろチェビシェフ多項式を計算して T_p(x)+T_q(y)+T_r(z)+1=0
の曲面を描いてみるという楽しみ方もあると思います。
例. (8*x^4-8*x^2+1)+(4*y^3-3*y)+(8*z^4-8*z^2+1)+1=0 などです。
曲面が多数あります。
surferのドキュメントの Eine Chmutov Oktik の文章から引用しますと、
"Auch in der Gleichung kann man dies recht leicht erkennen:
Chm_d : T_d(x)+T_d(y)+T_d(z)+1=0.
wobei T_d das sogenannte Tchebychev Polynom ist (Build links)."
とあります。
このT_dはT_8(x)=128*x^8-256*x^6+160*x^4-32*x^2+1で、
これをほかにいろいろチェビシェフ多項式を計算して T_p(x)+T_q(y)+T_r(z)+1=0
の曲面を描いてみるという楽しみ方もあると思います。
例. (8*x^4-8*x^2+1)+(4*y^3-3*y)+(8*z^4-8*z^2+1)+1=0 などです。
数式処理ソフトMacaulay2
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/
を力量不足であまりご紹介できていなかったのですが、
コミュニティの話題としてはずっと取り上げたい題材でした。
Macaulay2 にある cotangentSheaf という関数は、なかなか興味深いと思います。
たとえば次のような使いかたをします。(スペース位置を少し変えています)
///////////////////////////////////////////
i1 : R=QQ[x,y,z]/(x^3+y^3+z^3)
o1 = R
o1 : QuotientRing
i2 : F=cotangentSheaf Proj R
1
o2 = OO
Proj(R)
o2 : coherent sheaf on Proj(R), free
i3 : HH^0(F)
1
o3 = QQ
o3 : QQ-module, free
///////////////////////////////////////////
上でx^3+y^3+z^3 というのは射影代数曲線の定義式(同次式)です。
この多項式や、HH^0の0をいろいろと変えて実験をしてみると、
だいたい次のような法則性があるということに気づきます。
(ここでHH^0(F)の出力結果のQQ^1などの指数の値を dim HH^0(F)と書きます。)
(i) 有理曲線のの多項式で、特異点が有理型(A_n,D_n,E_n)だけのとき、
dim HH^0(F) = Milnor数の和(?)
例. 4次曲線の特異点が A_1 , A_2 , A_2 だけからなるとき dim HH^0(F) = 5
(ii) 非特異d次曲線の多項式ならば
F = OO_Proj(R)^1 (-(d-3)) ,
(とくに d=3 のとき OO_Proj(R)^1 ),
dim HH^0(F) = (d-1)(d-2)/2 ,
(iii) dim HH^1(F)=1 , dim HH^2(F)=0
(ii)は代数幾何の本にある種数公式とSerreの双対性定理の系のようですし、
(i)は既存の何かの定理としてあるかもしれませんし、反例があるかもしれません。
条件を有理型と楕円型特異点にまで広げても大丈夫そうですが、
もっと複雑な特異点の場合は和は上の式のようにはならないようです。
その例は、
x^5+y^5-3*x^2*y^2 , x^5-3*x^2*y^2+x*y^4+y^4 , x^6+y^6+2*x^2*y^3
などです。(Milnor数はSingularで確かめました)
・さらに種数gが 1<=g<=(d-1)(d-2)/2-1 の場合に法則性があるでしょうか?
・さらに曲面の場合は同様な法則性はあるでしょうか?
用語の解説は省きますが、定義を理解するほどの予備知識がなくても
実験が出来るので層のコホモロジー群に親しみがわくのでは?とおもいます。
いろいろとお試しください。
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/
を力量不足であまりご紹介できていなかったのですが、
コミュニティの話題としてはずっと取り上げたい題材でした。
Macaulay2 にある cotangentSheaf という関数は、なかなか興味深いと思います。
たとえば次のような使いかたをします。(スペース位置を少し変えています)
///////////////////////////////////////////
i1 : R=QQ[x,y,z]/(x^3+y^3+z^3)
o1 = R
o1 : QuotientRing
i2 : F=cotangentSheaf Proj R
1
o2 = OO
Proj(R)
o2 : coherent sheaf on Proj(R), free
i3 : HH^0(F)
1
o3 = QQ
o3 : QQ-module, free
///////////////////////////////////////////
上でx^3+y^3+z^3 というのは射影代数曲線の定義式(同次式)です。
この多項式や、HH^0の0をいろいろと変えて実験をしてみると、
だいたい次のような法則性があるということに気づきます。
(ここでHH^0(F)の出力結果のQQ^1などの指数の値を dim HH^0(F)と書きます。)
(i) 有理曲線のの多項式で、特異点が有理型(A_n,D_n,E_n)だけのとき、
dim HH^0(F) = Milnor数の和(?)
例. 4次曲線の特異点が A_1 , A_2 , A_2 だけからなるとき dim HH^0(F) = 5
(ii) 非特異d次曲線の多項式ならば
F = OO_Proj(R)^1 (-(d-3)) ,
(とくに d=3 のとき OO_Proj(R)^1 ),
dim HH^0(F) = (d-1)(d-2)/2 ,
(iii) dim HH^1(F)=1 , dim HH^2(F)=0
(ii)は代数幾何の本にある種数公式とSerreの双対性定理の系のようですし、
(i)は既存の何かの定理としてあるかもしれませんし、反例があるかもしれません。
条件を有理型と楕円型特異点にまで広げても大丈夫そうですが、
もっと複雑な特異点の場合は和は上の式のようにはならないようです。
その例は、
x^5+y^5-3*x^2*y^2 , x^5-3*x^2*y^2+x*y^4+y^4 , x^6+y^6+2*x^2*y^3
などです。(Milnor数はSingularで確かめました)
・さらに種数gが 1<=g<=(d-1)(d-2)/2-1 の場合に法則性があるでしょうか?
・さらに曲面の場合は同様な法則性はあるでしょうか?
用語の解説は省きますが、定義を理解するほどの予備知識がなくても
実験が出来るので層のコホモロジー群に親しみがわくのでは?とおもいます。
いろいろとお試しください。
どうもご無沙汰です。
20番の文の 3D-XplorMath-J をまた使ってみました。
常微分方程式でリミットサイクルが代数曲線になるような式を入れてみました。
3D-XplorMath-Jの"User ODE 2D 1stOrder(Autonomous)"の設定のデフォルトが
x'(x,y)= -y + c*x*(1 - x^2 - y^2)
y'(x,y)= x + c*y*(1 - x^2 - y^2)
となっておりまして、
これを一般化して f(x,y) を(実係数)n次多項式として、f_x,f_yをfの偏導関数として
x'(x,y)= f_y(x,y) - x * f(x,y)
y'(x,y)= -f_x(x,y) - y * f(x,y)
と設定すると、
f(x,y)=0の曲線へと
いろいろな初期値からの解曲線が
まとわりつく様子が見られます。
例として以下のものなどを挙げておきます。
1. f(x,y)=(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-4)
2. f(x,y)=x^4+y^4-1
3. f(x,y)=(x^2+y^2+12*x+9)^2-4*(3+2*x)^3)
この式の背景ですが f(x(t),y(t))→0 , (t→∞) という要請を課して、
曲線f(x,y)=0の上では、
x'(x,y)= f_y(x,y)
y'(x,y)= -f_x(x,y)
という関係が成り立っているようにしてこしらえた式です。
参考文献
リミットサイクルについてはWikipediaに解説がありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AB
20番の文の 3D-XplorMath-J をまた使ってみました。
常微分方程式でリミットサイクルが代数曲線になるような式を入れてみました。
3D-XplorMath-Jの"User ODE 2D 1stOrder(Autonomous)"の設定のデフォルトが
x'(x,y)= -y + c*x*(1 - x^2 - y^2)
y'(x,y)= x + c*y*(1 - x^2 - y^2)
となっておりまして、
これを一般化して f(x,y) を(実係数)n次多項式として、f_x,f_yをfの偏導関数として
x'(x,y)= f_y(x,y) - x * f(x,y)
y'(x,y)= -f_x(x,y) - y * f(x,y)
と設定すると、
f(x,y)=0の曲線へと
いろいろな初期値からの解曲線が
まとわりつく様子が見られます。
例として以下のものなどを挙げておきます。
1. f(x,y)=(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-4)
2. f(x,y)=x^4+y^4-1
3. f(x,y)=(x^2+y^2+12*x+9)^2-4*(3+2*x)^3)
この式の背景ですが f(x(t),y(t))→0 , (t→∞) という要請を課して、
曲線f(x,y)=0の上では、
x'(x,y)= f_y(x,y)
y'(x,y)= -f_x(x,y)
という関係が成り立っているようにしてこしらえた式です。
参考文献
リミットサイクルについてはWikipediaに解説がありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AB
WebGLでつくられImplicit function plotter
Klein bottleや、Gyroid(似)の曲面が描けます。
https://developer.cdn.mozilla.net/media/uploads/demos/g/u/guska076/1f2b2abce4f159de89108615cd77349c/implicit-equation-3d_1371322341_demo_package/index.html
■Klein bottle
(x*x+y*y+z*z+2*y-1)*((x*x+y*y+z*z-2*y-1)*(x*x+y*y+z*z-2*y-1)-8*z*z)+16*x*z*(x*x+y*y+z*z-2*y-1)=0
■Gyroid(似)の曲面
cos(x) * sin(y) + cos(y) * sin(z) + cos(z) * sin(x)=0
Klein bottleや、Gyroid(似)の曲面が描けます。
https://developer.cdn.mozilla.net/media/uploads/demos/g/u/guska076/1f2b2abce4f159de89108615cd77349c/implicit-equation-3d_1371322341_demo_package/index.html
■Klein bottle
(x*x+y*y+z*z+2*y-1)*((x*x+y*y+z*z-2*y-1)*(x*x+y*y+z*z-2*y-1)-8*z*z)+16*x*z*(x*x+y*y+z*z-2*y-1)=0
■Gyroid(似)の曲面
cos(x) * sin(y) + cos(y) * sin(z) + cos(z) * sin(x)=0
- mixiユーザー
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