夏の暑いさなか、こんなことが急に頭に浮かんできた

「無限に長いロープ（何にでも通っていく無限に固い）を気球上のある一点から垂直に真っ直ぐに伸ばしていったらどうなる？」無限にロープは伸び続けるのだろうか？

クレイ数学研究所によってそれぞれ100万ドルの懸賞金が懸けられている「7つのミレニアム懸賞問題」のうち唯一ロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンによって解決されている問題「ポアンカレ予想」をNHKのBSプレミアムで放送した時に冒頭で流れた映像だったように記憶する（違うテーマだったかもしれない）。その可能性についてもあやふやな記憶しか残っていないが以下のような内容だったか？

もし宇宙が閉じていたとするとロープは無限に伸びていく。もし宇宙が開かれているとするとロープはある時点でそれ以上伸びなくなる。もしかするとその逆だったかもしれない。

よくこの手の問題は三次元を二次元にして考えられる。平面に住む二次元動物（実際には存在しえないが）が球のような平面にいる場合と紙（二次元なので球の内部とか紙の厚さは考えない）にいるかによって動いていくと違いが出る。球のような平面にいれば永久に先に進んでいけるが、紙のような平面だと行き止まりがある。

三次元宇宙が二次元宇宙における球のようなものであればロープは無限に伸びていき、紙のようなものであれば端に到達した時点でロープの伸びは止まる、ということは想像がつく。球でなくドーナツ状であってもロープは無限に伸びるような気がするがどんなものだろう。

もし閉じた宇宙だとすると、球上の二次元生物は反対側から元のところに戻ってくることが予想できるように、三次元の世界で反対側からロープが戻ってくることが予想できる。逆に紙のようなものだと行き止まりがあり、そこでロープは伸びなくなるように思える。ただ、行き止まりの先はどうなっているのだろうかという疑問もわいてはくるけど。